Вправи: 299

299. Доведіть, використовуючи метод від супротивного, що коли жодна з висот трикутника не збігається з бісектрисою, проведеною з тієї самої вершини, то трикутник не є рівнобедреним.

Доведення: Нехай дано ∆ABC, BK — висота, BM — бісектриса, доведемо, що ∆ABC не рівнобедрений.

Припустимо обернене: нехай ∆ABC — рівнобедрений. Розглянемо ∆ABM і ∆СВМ.

1) ∠ABM = ∠CBM (BM — бісектриса);

2) AB = BC (∆ABC — рівнобедрений);

3) ∠A = ∠C (∆ABC — рівнобедрений).

Отже, ∆ABM = ∆CBM за II ознакою, тоді ∠AMB = ∠CMB.

∠AMB + ∠CMB = 180° як суміжні, з цього випливає, що ∠AMB =

= ∠CMB = 90°.

Тоді MB — висота ∆ABC, але це суперечить умові: бісектриса і висота

не збігаються.

Тоді наше припущення неправильне, а правильне те, що треба було довести: ∆ABC не є рівнобедреним.