Вправи: 289

289. Доведіть рівність двох трикутників за двома сторонами та медіаною, яка проведена до третьої сторони.

Дано: ∆ABC і ∆A₁B₁C₁, AB = A₁B₁

BC = B₁C₁, BN = B₁N₁,

ВN і B₁N₁ — медіани.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення: Виконаємо додаткову

побудову. Продовжимо медіани

ВN = ND і B₁N₁ = N₁D₁.

Розглянемо ∆AND і ∆BNC: AN = NC (за означенням медіани трикутника), BN = ND (за побудовою), ∠BNC = ∠AND (вертикальні). За І ознакою рівності трикутників маємо ∆BNC = ∆DNA, звідси

AD = BC, ∠ADN = ∠NBC (як рівні елементи рівних фігур).

Аналогічно: ∆A₁D₁N₁ = ∆C₁N₁B₁, A₁D₁ = B₁C₁, ∠A₁D₁N₁ = ∠N₁B₁C₁.

Розглянемо ∆BAD і ∆B₁A₁D₁: AB = A₁B₁, AD = A₁D₁, BD = B₁D₁. За III ознакою рівності трикутників маємо ∆ABD = ∆A₁B₁D₁. Звідси маємо ∠ABD = ∠A₁B₁D₁, ∠ADB = ∠A₁D₁B₁.

За аксіомою вимірювання кутів маємо ∠ABC = ∠ABN + ∠NBC,

∠A₁B₁C₁ = ∠A₁B₁N₁ + ∠N₁B₁C₁. Отже, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

Якщо AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ і ∠ABC = ∠A₁B₁C₁. За І ознакою рівності трикутників маємо ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Доведено.