Вправи: 688

688. Доведіть, що радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, удвічі більший за радіус кола, вписаного в нього.

1) Нехай ∆ABC — рівносторонній. BK і CL — його бісектриси та серединні перпендикуляри.BK і CL перетинаються у точці О.2) Точка O є центром як вписаного у ∆ABCкола, так і центром описаного кола. OK = r — радіус вписаного кола; OC = R – радіус описаного кола.

3) Оскільки CO — бісектриса кута ACB, то

∠KCO = 60° = ∠АВС2 = 60°2 = 30°.

4) За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, у ∆КОС отримаємо, що ОК = ОС2, тобто r = R2, що й треба було довести.