Вправи: 79

79. Промінь, проведений з вершини прямого кута, ділить його на два кути. Доведіть, що кут між бісектрисами кутів, що утворилися, дорівнює 45°.

Дано: ∠AOE — прямий (∠AOE = 90°). OC проходить між сторонами ∠AOE. OB — бісектриса ∠AOC, OD — бісектриса ∠COE.

Довести: ∠BOD = 45°.

Доведення: OB — бісектриса ∠AOC.

За означенням бісектриси кута маємо:

∠AOB = ∠BOC = 12 ∠AOC, тоді ∠AOC = 2∠BOC.

Аналогічно, ∠COD = ∠DOE = 12∠COE,

тоді ∠COE = 2∠COD.

За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠AOE = ∠AOC + ∠COE.

2∠BOC + 2∠COD = 90°, 2(∠BOC + ∠COD) = 90°, ∠BOC + ∠COD = 90°,

2∠BOC + ∠COD = 45°. ∠BOC + ∠COD = ∠BOD (за аксіомою вимірювання кутів). ∠BOD = 45°. Доведено.