Вправи: 663

663. На рисунку 335 BD = DC, DN ⊥ BC, ∠BDM = ∠MDA. Знайдіть суму кутів MBN та BMD.

Дано: ∆ABC. BD = DC. DN ⊥ BC. ∠BDM = ∠MDA.

Знайти: ∠MBN + ∠BMD.

Розв'язання: За умовою BC = DC, отже ∆BDC — рівнобедрений.

За властивістю кутів рівнобедреного

трикутника маємо: ∠DBN = ∠DCN.

DN — висота (DN ⊥ BC). За властивістю

висоти в рівнобедреному трикутнику

маємо: DN — медіана і бісектриса. За означенням бісектриси кута маємо: ∠BDN = ∠NDC.

За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠ADC = ∠ADM + ∠MDB + ∠BDN + ∠NDC.

2∠MDB + 2∠BDN = 180°; 2(∠MDB + ∠BDW) = 180°.

∠MDB + ∠BDN = 90°; ∠MDN = ∠MDB + ∠BDN; ∠MDN = 90°.

Розглянемо ∆BND. За теоремою про суму кутів трикутника маємо

∠BND + ∠NDB + ∠DBN = 180°.

Розглянемо ∆BMD. Аналогічно маємо: ∠BMD + ∠MDB + ∠DBM = 180°.

Звідси маємо, що сума кутів чотирикутника BMDN дорівнює 360°.

Отже, ∠BMD + ∠MDN + ∠DNB + ∠NBM = 360°.

Звідси маємо: ∠MBN + ∠BMD = 360° – (90° + 90°) = 360° – 180° =

= 180°.

Відповідь: 180°.