Вправи: 661

661. Через середину O сторони M K трикутника MKN проведено

пряму, яка перпендикулярна до сторони MK і перетинає сторону MN у точці С. Відомо, що MC = KN, ∠N = 50°. Знайдіть кут MCO.

Дано: ∆MKN. O — середина MK. OC ⊥ MK; C ∈ MN.

∠N = 50°. MC = KN.

Знайти: ∠MCO.

Розв’язання: Виконаємо додаткову побудову:

відрізок KC.

Розглянемо ∆КСМ; O — середина KM. Отже, CO — медіана; CO ⊥ KM; CO — висота.

За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: ∆KCM — рівнобедрений (KC = CM), тому OC — бісектриса ∠KCM.

За означенням бісектриси кута маємо: ∠KCO = ∠OCM;

За умовою MC = KN, тому KC = KN.

Розглянемо ∆KCN — рівнобедрений. За властивістю кутів маємо:

∠N = ∠KCN = 50°.

∠KCN та ∠KCM — суміжні. За теоремою про суміжні кути маємо:

∠KCN + ∠KCM = 180°.

∠KCM = 180° – 50° = 130°, звідси маємо: ∠MCO = 130° : 2 = 65°.

Відповідь: 65°.