Вправи: 662

662. У трикутнику ABC з вершини прямого кута C проведено висоту CH і бісектрису CM. Довжина відрізка HM удвічі менша від довжини відрізка CM. Знайдіть гострі кути трикутника ABC.

Дано: ∆АВС — прямокутний. ∠C = 90°.

CH — висота (СH ⊥ AC). CM — бісектриса ∠ACB.

HM < CM у 2 рази.

Знайти: ∠A; ∠B.

Розв’язання: За умовою CH — висота (СH ⊥ AB), тобто ∠CHM = 90°.

Розглянемо ∠CHM — прямокутний (∠H = 90°).

Нехай HM = х см, тоді CM = 2х (см).

За властивістю катета, який лежить навпроти кута 30°, маємо:

∠HCM = 30°.

За умовою CM — бісектриса ∠ACB. За означенням бісектриси кута трикутника маємо: ∠ACM = ∠MCB = 12 ∠ACB = 90°: 2 = 45°.

За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠HCB = ∠HCM + ∠MCB; ∠HCB = 30° + 45° = 75°.

∠ACH = ∠ACM – ∠HCM; ∠ACH = 45° – 30° = 15°.

Розглянемо ∆CHA — прямокутний (∠H = 90°).

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠CAH + ∠ACH = 90°; ∠CAH = 90° – 15° = 75°.

Аналогічно з ∆CHB маємо: ∠CBH = 90° – 75° = 15°.

Відповідь: 75°; 15°.