Вправи: 617

617. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, відрізки AE і CF — бісектриси цього трикутника. Доведіть, що EF ∥ AC.

Нехай даний ∆ABC, AB = BC, AE і CF — бісектриси, доведемо, що

EF ∥ AC.

∆АВС — рівнобедрений (AB = BC), тоді

∠A = ∠C. ∠BAE = ∠EAC = ∠BCF = ∠FCA

(AE і CF — бісектриси рівних кутів). Розглянемо ∆ABE і ∆CBF.

1) AB = BC (за умовою).

2) ∠B — спільний.

3) ∠BAE = ∠BCF.

Отже, ∆ABE = ∆CBF за II ознакою рівності трикутників.

З цього випливає: BE = BF. ∆FBE — рівнобедрений.

∠BFE = ∠BEF = (180° – ∠B) : 2; ∠BAC = ∠BCA = (180° – ∠B) : 2 (з ∆АВС). ∠BEF = ∠BAC при прямих FE і AC і січній AB, ці кути відповідні, тоді EF ∥ AC.