Вправи: 619

619. Серединний перпендикуляр гіпотенузи AB прямокутного

трикутника ABC перетинає катет BC у точці М. Відомо, що ∠MAC: ∠MAB = 8 : 5. Знайдіть гострі кути трикутника ABC.

Нехай даний ∆АВС (∠C = 90°), MK — серединний перпендикуляр до AB, ∠CAM : ∠MAB = 8 : 5. Знайдемо ∠A і ∠B.

Нехай х — одна частина, тоді ∠CAM = 8x, ∠MAB = 5х,

Розглянемо ∆AMB. MK — висота (MK ⊥ АВ), MK – медіана (АК = KB)

Тоді ∆AMB — рівнобедрений.

∠MAB = ∠ABM = 5x.

Розглянемо ∆АВС. ∠A + ∠B = 90°.

8x + 5x + 5x = 90; 18x = 90; х = 5.

∠CAM = 8 ∙ 5 = 40°, ∠MAB = 5 ∙ 5 = 25°.

∠B = 5 ∙ 5 = 25°, ∠A = ∠CAM + ∠MAB, ∠A = 40° + 25° = 65°.

Відповідь: ∠A = 65°, ∠B = 25°.