Вправи: 412

412. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо бісектриса кута В розбиває його на два рівнобедрених трикутники.

1) Нехай даний ∆ABC, BK — бісектриса.

Припустимо, що ∆ABK — рівнобедрений (AB = BK),

∆KBC — рівнобедрений (BK = BC).

Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC), тоді

бісектриса BK є висотою і ∠AKB = ∠CKB = 90°.

Тоді в ∆ABK — рівнобедреному ∠AKB = 90° при основі. Це неможливо.

2) Нехай даний ∆ABC, BK — бісектриса.

Припустимо, що ∆AKB — рівнобедрений (AK = BK),

∆BKC — рівнобедрений (BK = KC).

Нехай ∠ABK = ∠KBC = х (BK — бісектриса).

∆ABK — рівнобедрений, тоді ∠ABK = ∠BAK = x,

∆BKC — рівнобедрений, тоді ∠KBC = ∠KCB = х.

Розглянемо ∆ABC: ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = х; ∠A + ∠B + ∠C = 180°;

х + 2х + х = 180; 4х = 180; х = 45. ∠A = 45°, ∠B = 90°,∠C = 45°.

3) Нехай даний ∆ABC, BK — бісектриса.

Припустимо, що ∆AKB — рівнобедрений (AK = BK),

∆BKC — рівнобедрений (BK = BC).

Нехай ∠ABK = ∠KBC = х (BK — бісектриса).

∆ABK — рівнобедрений, тоді ∠ABK = ∠BAK = х,

∠AKB = 180° – 2x. ∠AKB і ∠BKC — суміжні.

∠AKB + ∠BKC = 180°. ∠AKB = 180° – ∠BKC, тоді ∠BKC = 2х.

∆BKC — рівнобедрений, тоді ∠BKC = ∠KCB = 2х.

Розглянемо ∆ABC: ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 2х. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180; х = 36, ∠A = 36°. ∠B = 36° ∙ 2 = 72°. ∠C = 36° ∙ 2 = 72°.

Відповідь: 90°, 45°, 45°; або 36°, 72°, 72°.