Вправи: 403

403. Кут при основі AC рівнобедреного трикутника ABC у 2 рази більший за кут при вершині, AM — бісектриса трикутника. Доведіть, що BM = AC.

Доведення: Нехай даний ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC), ∠A у 2 рази більший ніж ∠B, AM — бісектриса. Доведемо, що BM = AC.

Нехай ∠B = х, тоді ∠A = 2х, оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то

∠A = ∠C = 2х.

В ∆АВС: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

2х + х + 2х = 180; 5x = 180; х = 36.

∠B = 36°. ∠A = 2 ∙ 36° = 72°. ∠C = 2 ∙ 36° = 72°.

∠BAM = ∠MAC = 12 ∠A = 72° : 2 = 36°

(AM – бісектриса).

Розглянемо ∆АВМ:

∠B + ∠BMA + ∠BAM = 180°. 36° + ∠BMA + 36° = 180°.

∠BMA = 180° – 72° = 108°.

Отже, ∠B = ∠BAM = 36°, тоді ∆ABM — рівнобедрений, BM = AM.

Розглянемо ∆АМС:

∠MAC + ∠AMC + ∠C = 180°.

36° + ∠AMC + 72° = 180°.

∠AMC = 180° – (36° + 72°) = 72°.

Так як ∠AMC = ∠C = 72°, то ∆AMC — рівнобедрений, MA = AC.

Оскільки, BM = MA, MA = AC, то BM = AC.