Вправи: 352

352. Бісектриси кутів ВАС і BCA трикутника ABC перетинаються

в точці О. Через цю точку проведено прямі, які паралельні прямим AB і BC та перетинають сторону AC у точках M i K відповідно. Доведіть, що периметр трикутника МОК дорівнює довжині сторони AC.

Дано: ∆АВС; AN, CP — бісектриси ∆АВС.

AN CP = 0. O ∈ FK; O ∈ EМ; M ∈ AC;

K ∈ AC. ЕМ ∥ АВ; FK ∥ BC.

Довести: P∆_MOK = AC.

Доведення:

За умовою AN — бісектриса ∆АВС.

За означенням бісектриси кута трикутника маємо: ∠BAN = ∠NAM.

AB ∥ ME; AO — січна, тоді за ознакою паралельності прямих маємо:

∠PAO = ∠AOM (внутрішні різносторонні). Звідси ∠OAM = ∠MOA, отже

∆AMO — рівнобедрений AM = MO.

Аналогічно CP — бісектриса, тоді ∠ACP = ∠PCB.

FK ∥ BC; OC — січна, тоді ∠KOC = ∠OCN.

Звідси ∠KOC = ∠KCO, тоді ∆KOC — рівнобедрений OK = KC.

P∆_MOK = МО + OK + MK. P∆_MOK = AM + MK + KC = AC.

Доведено.