Вправи: 237-238

237. Бісектриси AM і CK кутів при основі AC рівнобедреного трикутника ABC перетинаються в точці О. Доведіть, що трикутник AOC рівнобедрений.

Доведення: Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AB = BC, AM — бісектриса ∠A, CK — бісектриса ∠C, т. O — точка перетину бісектрис AM і CK.

Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то ∠A = ∠C.

∠BAM = ∠MAC = 12 ∠A (AM — бісектриса ∠A).

∠BCK = ∠KCA = 12 ∠C (СK — бісектриса ∠C).

Т. я. ∠A = ∠C, то ∠MAC = ∠KCA, тоді ∆АОС — рівнобедрений.

238. У трикутнику ABC бісектриса BK є його висотою. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо периметр трикутника ABK дорівнює 16 см і BK = 5 см.

Розв’язання: Нехай дано ∆ABC, BK — бісектриса, висота,

BK = 5 см. P∆_ABK = 16 см. Знайдемо P∆_ABC.

Якщо в ∆ABC бісектриса BK є висотою,

то ∆ABC — рівнобедрений з основою AC.

В рівнобедреному ∆ABC BK — бісектриса,

висота і медіана.

P∆_ABK = AB + BK + AK; 16 = AB + 5 + AK;

AB + A K = 11.

P∆_ABC = AB + BC + AC = AB + BC + AK + KC = (AB + АK) ∙ 2 = 11 ∙2 = 22 см.

Так як AB = BC (∆АВС — рівнобедрений), AK = KC (BK — медіана).

Відповідь: Р∆_ABC = 22 см.