Вправи: 240

240. Медіани AE і CF, проведені до бічних сторін BC і AB рівнобедреного трикутника ABC, перетинаються в точці М. Доведіть, що трикутник AMC рівнобедрений.

Доведення: Нехай дано ∆АВС — рівнобедрений (AB = BC), AE — медіана, CF — медіана, AE і CF перетинаються в точці M.

Доведемо, що ∆AMC — рівнобедрений.

Розглянемо ∆AFC і ∆СЕА.

1) ∠A = ∠C (∆АВС — рівнобедрений).

2) AC — спільна.

3) AF = 12AB, CF — медіана. CE = 12BC,

AE — медіана.

AB = BC (∆АВС — рівнобедрений). AF = CE.

Отже, ∆AFC = ∆CEA за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ∠EAC = ∠FCА.

Розглянемо ∆АМС. Оскільки ∠MAC = ∠MCA, то ∆AMC — рівнобедрений.