Вправи: 219

219. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC на медіані BD позначили довільну точку M. Доведіть, що: 1) ΔАМВ = ΔСМВ;

2) ΔAMD = ΔCMD.

1) Дано: ΔABC — рівнобедрений, AC — основа, BD — медіана,

M ∈ BD.

Довести: ΔAMB = ΔCMВ.

Доведення: 1) За умовою ΔABC — рівнобедрений,

тому AB = BC.

2) BD — медіана. За властивістю медіан рівнобедреного трикутника маємо BD — медіана, бісектриса.

За означенням бісектриси кута трикутника маємо

∠ABM = ∠CBM. 3) BM — спільна сторона.

ΔAMB = ΔCMB (за І ознакою рівності трикутників). Доведено.

2) Довести: ΔAMD = ΔCMD.

Доведення: Розглянемо ΔAMD і ΔCMD.

1) MD — спільна сторона. 2) За умовою BD — медіана у ΔABC, тоді

за означенням медіани трикутника маємо AD = DC.

3) За властивістю медіани трикутника маємо BD— висота, тоді

BD ⊥ AC, ∠MDA = ∠MDC = 90°.

ΔAMD = ΔCMD (за І ознакою рівності трикутників). Доведено.