ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 7 КЛАС » 1323

Чи можна стверджувати, що значення виразу n3 + 2n ділиться націло на 3 при будь–якому натуральному значенні n? n3 + 2n = n(n2 + 2). Будь–яке натуральне число и можна записати n = 3m або n = Зm ± 1. Якщо n = Зm, то для множника n матимемо: n = 3m — кратне 3 і значення виразу n(n2 + 2) кратне 3. Якщо n = Зm + 1, то для множника n2 + 2 матимемо: n2 + 2 = (3m + 1)2 + 2 = 9m2 + 6m + 1 + 2 = 9m2 + 6m + 3 = 3(3m2 + 2m + 1) — кратне 3 і значення виразу n(n2 + 2) кратне 3. Якщо n = 3m – 1, то для множника n2 + 2 матимемо: n2 + 2 = (Зm – 1)2 + 2 = 9m2 – 6m + 1 + 2 = 9m2 – 6m + 3 = 3(3m2 – 2m + 1) — кратне 3 і значення виразу n(n2 + 2) кратне 3. Отже, значення виразу n3 + 2n ділиться націло на 3 при будь–якому натуральному значенні n.