Вправи: 1122

1122. а) Число n при діленні на 6 дає в остачі 3, а число m — в остачі 4. Яку остачу при діленні на 6 дає число: 3n + 5m; nm?

б) Числа m, n і k при діленні на 5 дають відповідно в остачах 2, 3 і 4.

Доведіть, що число nk – m(m – 1) ділиться на 5.

а) n = 6x + 3; m = 6у + 4, де х і у — натуральні числа.

Зn + 5m = 3(6x + 3) + 5(6y + 4) = 18x + 9 + 30y + 20 = 18x +

+ 30у + 29 = 6(3x + 5у + 4) + 5. Остача при діленні на 6 буде 5.

m • n = (6x + 3)(6у + 4) = З6ху + 24x + 18у +12 = 6(6xу + 4x +

+ Зу + 2).

Число ділиться на 6 без остачі. Відповідь: 5; 0.

б) m = 5x + 2; n = 5у + 3; k = 5z + 4.

nk - m(m - 1) = (5у + 3)(5z + 4) - (5x + 2)(5x + 2 - 1) = 25уz + 20у + 15z + 12 - 25x² - 5x - 10x - 2 = 5(5zу + 4у + Зz - 5x² - 3x + 2).

Число ділиться на 5 без остачі. Доведено.