Вправи: 1061

1061. Доведіть, що сума кубів двох послідовних цілих чисел, які не діляться на 3, кратна 9.

Нехай два послідовних цілих числа, які не ділиться на 3, дорівнюють

Зn + 1 і Зn + 2. Сума кубів таких чисел дорівнює:

(Зn + 1)3 + (3n + 2)³ = (3n + 1 + Зn + 2)((3n + 1)² - (Зn + 1)(3n + 2) + (Зn + 2)²) = (6n + 3)(9n² + 6n + 1 - 9n² - 6n - Зn - 2 + 9n² +

+ 12n + 4) = 3(2n + 1)(9n² + 9n + 3) = 9(2n + 1)(3n² + Зn +1).

Перший множник ділиться на 9, отже, добуток ділиться на 9.

Сума (Зn + 1)³ + (Зn + 2)³ ділиться на 9. Доведено.