§ 22: 22.19

22.19 Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро якого дорівнює 4 см. Точки

M і K — середини ребер AD і BB₁ відповідно. На ребрі CD позначили

точку E, а на його продовженні за точку D — точку F так, що DE = 1 см, а точка D — середина відрізка CF. Доведіть, що пряма KF перпендикулярна до площини MD₁E.

AB = 4 см; DE = 1 см; FD = DC.Довести: KF ⊥ (MD1E).Розглянемо систему координат з початком в точці D.M (0; –2; 0); E (–1; 0; 0); D1 (0; 0; 4).Складемо рівняння площини (MD1E).ME (–1; 2; 0).

ME ⊥ a (a; b; c); –a + 2b + 0c = 0.

MD1 (0; 2; 4).

MD1 ⊥ a (a; b; c); 2b + 4c = 0.

ED1 (1; 0; 4); a + 4c = 0.

–a + 2b = 0;2b + 4c = 0;a + 4c = 0;

a = 2b;2b + 4c = 0;+2b + 4c = 0;

a = 2b;2b = –4c;

a = 2b = –4c.b = –2c.

c = 1; a = –4; b = –2; a (–4; –2; 1).

F (4; 0; 0); K (–4; –4; 2).

FK (–8; –4; 2). Бачимо, що координати а і FK пропорційні.

а || FK ⇒ FK ⊥ α.