Відповіді до вправ: 5.58

5.58 Три прямі, що перетинаються в одній точці й не лежать в одній площині, перетинають одну з двох паралельних площин у точках А, В, С, а другу – у точках A₁, B₁, C₁. Доведіть, що трикутники ABC і A₁B₁C₁ подібні.

Довести:

∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁.

Розглянемо площину в якій АА₁ і ВВ₁, В₁А₁ ∥ АВ ⇒∆АВО ~ ∆А₁В₁О ⇒ АВА1В1 = ВОВ1О = АОА1О;

Аналогічно ∆СОВ ~ ∆С₁ОВ₁ ⇒ СОС1О = СВС1В1 = ВОВ1О; ∆АОС ~ ∆А₁ОС₁ ⇒ АОА1О = ОСОС1 = АСА1С1;

АВА1В1 = СВС1В1 = АСА1С1.

Сторони трикутників пропорційні, отже, подібні.