§ 43: 43.4-43.6

43.4 Побудуйте графік функції:

1) f(x) = x-3x-1.

1. D(f) = (–∞; 1) ∪ (1; +∞). x = 1 – вертикальна асимптота.

2. f(–x) = -x-3-x-1; f(–x) ≠ f(x); f(–x); ≠ –f(x).

Функція f(x) є ні парною, ні непарною.

3. f(x) = 0 при х = 3.

4. f(x) ≥ 0 при х ∈ (–∞; 1) ∪ [3; +∞);

f(x) ≤ 0 при х ∈ (1; 3].

5–6. f’(x) = 1 • x-1- x-3 • 1(x-1)2 = x-1-x+3(x-1)2 = 2(x-1)2.

f’(х) > 0 при будь–якому значенні х ∈ D(y). Отже, функція зростає на (–∞; 1) і (1; +∞). Критичних точок і екстремумів немає.

7. f’’(x) = –4(x-1)3; f’’(x) > 0 при х ∈ (–∞; 1), на цьому проміжку функція опукла вниз.

f’’(x) < 0 при х ∈ (1; +∞), на цьому проміжку функція опукла вгору.

lim x-3x-1 = lim 1- 3x1- 1x = 11 = 1. y = 1 – горизонтальна асимптота.

х→∞ х→∞

2) f(x) = 1x2- 2x = 1x(x-2).

1. D(y) = (–∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞).

2. Функція ні парна, ні непарна, оскільки область визначення не симетрична.

3. f(x) ≠ 0, нулів функції немає.

x > 0,

x – 2 > 0, x > 2,

4. f(x) > 0, f(x) > 0 при x ∈ (–∞; 0)∪(2; +∞);

x < 0, x < 0;

x – 2 < 0;

x > 0,

x – 2 < 0,

f(x) > 0, 0< x < 2, f(x) > 0 при x ∈ (–∞; 0)∪(2; +∞);

x < 0,

x – 2 > 0;

друга система розв’язків не має.

5–6. f’(x) = –1(x2- 2x)2 • (2x – 2) = –2x-2(x2- 2x)2 = 2(x-1)(x2- 2x)2;

f’(x) = 0 при х = 1 – критична точка (х ∈ D(f)).

x	(–∞; 0)	0	(0; 1)	1	(1; 2)	2	(2; +∞)
f(x)	+	не існує	+	0	–	не існує	–
f’(x)	↗	не виз–начена	↗	–1	↘	–	↘
				max		не виз–начена

Функція зростає на проміжках (–∞; 0) ∪ (0; 1), спадає на (1; 2) ∪ (2; +∞).

x_max = 1; f(1) = 112- 2 • 1 = –1.

7. Вертикальні асимптоти: х = 0, х = 2.

lim f(х) = lim = 1x2- 2x = 0, y = 0 – горизонтальна асимптота.

x→∞ x→∞

3) f(x) = 1+ x21-x2 = 1+ x21-x(1+x).

1. D(f) = (–∞; –1) ∪ (–1; 1) ∪ (1; +∞).

2. f(–x) = 1+(-x )21-(-x)2 = 1+ x21- x2 = f(x), функція парна.

3–4. f(x) > 0 при х ∈ (–1; 1);

f(x) < 0 при х ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞).

5–6. f’(x) = 1+ x2'1- x2 - (1+ x2)(1- x2)'(1- x2)2 = 2x1- x2 + 2x(1+ x2)(1- x2)2 = 2x-2x3 + 2x+2x3(1- x2)2 = 4x(1- x2)2.

f’(x) = 0 при х = 0 – критична точка.

x	(–∞; –1)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
f(x)	–	–	–	0	+	–	+
f’(x)	↘	–	↘	1	↗	–	↗
				min

x_min = 0; f(1) = 1+01-0 = 1.

7. Вертикальні асимптоти: х = –1, х = 1.

lim 1+ x21- x2 = lim 3x2+ 1 1x2-1 = –1. Отже y = –1 – горизонтальна асимптота.

x→∞ x→∞

4) f(x) = 1x2+ 1.

1. D(f) = (–∞; +∞).

2 . f(x) = –f(x), функція парна.

3–4. f’(x) > 0 на D(f).

5–6. f’(x) = –2x(x2+ 1)2.

f’(x) < 0 при х > 0, функція спадає на [0; +∞); f’(x) > 0 при x < 0, функція зростає на (–∞; 0].

f’(х) – 0 при х = 0 – критична точка, точка максимуму, f(0) = 1.

7. lim 1x2+ 1 = 0, звідси у = 0 – горизонтальна асимптота.

х→∞

5) f(x) = 3xx2- 9.

1. D(f) = (–∞; –3) ∪ (–3; 3) ∪ (3; +∞).

2. f(–x) = 3 • (-x)(-x)2- 9 = –3xx2- 9 = –f(x) – функція непарна.

3–4. f(x) = 0 при х = 0 – нуль функції.

f(x) > 0 при х ∈ (3; 0) ∪ (3; +∞);

f(x) < 0 при х ∈ (–∞; –3) ∪ (0; 3).

5–6. f’(x) = 3x2- 9- 3x • 2x(x2- 9)2 = 3x2- 27-6x2(x2- 9)2 = –3x2+27(x2- 9)2.

f’(х) < 0 при будь–якому значенні х з області визначення функції, тобто f(x) спадає на проміжках (–∞; –3), (–3; 3), (3; +∞).

7. Вертикальні асимптоти х = –3 і х = 3.

lim 3xx2- 9= lim 3xx2x2x2- 9x2 = lim 3x1- 9x2 = 0.

х→∞ х→∞ х→∞

Отже, у = 0 – горизонтальна асимптота при х → ± ∞.

6) f(x) = 2x(x+1)2.

1. D(f) = (–∞; –1) ∪ (–1; +∞).

2. Функція не є ні парною, ні непарною, оскільки її область

визначення несиметрична.

3–4. f(x) = 0 при х = 0.

f(x) > 0 при х > 0, x ∈ (0; +∞);

fix) < 0 при x < 0, х ∈ (–∞; 0).

5–6. f’(x) = 2(x+1)2- 2x • 2(x+1)(x+1)4 = 2x+1(x+1-2x)(x+1)4 = 2x+1(1-x)(x+1)4 = 2(1-x)(x+1)3.

f’(x) = 0, якщо х = 1 – критична точка.

f’(x) > 0, функція зростає на (–∞; 1];

f’(x) < 0 і функція спадає на (–∞; –1) і [1; +∞).

xmax = 1; f(1) = 2 • 1(x+1)2 = 24 = 12.

7. Вертикальна асимптота х = –1.

lim 2x(x+1)2 = lim 2xx2x2 + 2x + 1x2 = 0.

х →∞ х →∞

y = 0 – горизонтальна асимптота при х → ± ∞.

43.5 Побудуйте графік функції f (x) = x² (2x – 3) і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння f (x) = a залежно від

значення параметра a.

f(x) = x²(2x – 3).

1. D(f) = (–∞; +∞).

2. f(–x) = (–x)²(–2x – 3) = x²(–2x – 3); f(–x) ≠ f(x); f(–x) ≠ –f(x). Функція не є ні парною, ні непарною.

3–4. f(x) = 0 при х = 0 i х = 32 – нулі функції.

f(x) < 0 при х ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 32);

f(x) > 0 при х ∈ (32; +∞).

5–6. f’(х) = 2х(2х – 3) + x² • 2 = 4х² – 6х + 2х² = 6x² – 6x(x – 1).

f’(x) = 0 при x = 0 і х = 1 – критичні точки.

x	(–∞; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
f(x)	+	0	–	0	+
f’(x)	↗	0	↘	–1	↗
		max		min

f(0) = 0² • (2 • 0 – 3) = 0; f(1) = 1² • (2 • 1 – 3) = –1.

7. f’’(x) < 0 при x ≤ 12 – функція опукла вгору на проміжку (–∞; 12);

f’’(x) > 0 при x > 12 – функція опукла вниз на проміжку (12; +∞);

х = 12 – точка перегину.

Користуючись побудованим графіком,

встановлюємо кількість коренів рівняння

f(x) = а залежно від значення а:

якщо а > 0 або а < –1, то корінь один;

якщо 1 < а < 0, то коренів три;

якщо а = 0 i a = –1, то коренів два.

43.6 Побудуйте графік функції f (x) = –x² (x² – 4) і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння f (x) = a залежно від

значення параметра a.

f(x) = –x²(x² – 4).

1. D(f) = (–∞; +∞).

2. f(–x) = –(–x)²((–x)² – 4) = –x²(x² – 4) – f(x) – функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3–4. f(x) = 0 при х = 0, х = –2, х = 2 – нулі функції.

f(x) > 0 при х ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞);

f(x) < 0 при х ∈ (–2; 0) ∪ (0; 2).

5–6. f’(х) = – 2х(х² – 4) + (–x²) • 2х = –2х³ – 8х – 2х³ = –4х³ – 8х = –4х(х² – 2) = –4х(х – 2)(х + 2).

f’(х) = 0 при х = 0, х = ±2 – три критичні точки.

x	(–∞; –2)	–2	(–2; 0)	0	(0; 2)	2	(2; +∞)
f(x)	+	0	–	0	+	0	–
f’(x)	↗	4	↘	0	↗	4	↘
		max		min		max

f(0)= 0;

f(2) = –(2)² • ((2)² – 4) = –2 • (2 – 4) = 4;

f(–2) = f(2) = 4.

Користуючись побудованим графіком,

встановлюємо кількість коренів рівняння

f(х) = а залежно від значення а:

якщо а > 4, то коренів немає;

якщо а < 0 або а = 4, то коренів два;

якщо а = 0, то коренів три;

якщо 0 < а < 4, то коренів чотири.