§ 43: 43.3

43.3 Побудуйте графік функції:

1) f(x) = 4-xx+2.

1. Область визначення функції х ≠ –2 , тобто D(f) = (–∞; –2) U (–2; +∞); х = –2 – вертикальна асимптота.

2. Оскільки область визначення функції не симетрична, то функція не є ні парною, ні непарною.

3. f(x) = 0 при х – 4 – нуль функції.

4 – x > 0, x < 4,

x + 2 > 0, x > –2,

4. f(x) > 0;

4 – x < 0, x < 4,

x + 2 < 0; x < –2;

–2 < x < 4. Отже, f(x) > 0 на проміжку (–2; 4).

4 – x > 0, x < 4,

x + 2 > 0, x > –2, x > 4,

f(x) > 0;

4 – x < 0, x < 4, x < –2.

x + 2 < 0; x < –2;

Отже, f(x) < 0 на проміжках (–∞; –2) ∪ (4; +∞).

5–6. f’(x) = 4-x'x+2- (4x-2)(x+2)'(x+2)2= -x-2-4+x(x+2)2 = -6(x+2)2.

Маємо: f’(x) < 0 при будь–якому значенні х з D(f), тому функція спадає на (–∞; –2) i (–2; +∞).

7. f’’(x) = (x+2)2+ 6 • 2(x+2)(x+2)4 = 12x+24(x+2)4 = 12x+24(x+2)4 = 12(x+2)3.

f’’(x) > 0, якщо х + 2 > 0; х > –2, тоді на проміжку (–2; +∞) функція опукла вниз;

f’’(x) < 0, якщо х + 2 < 0; х < –2, тоді на проміжку (–∞; –2) функція опукла вгору. Точок перегину немає.

8. lim 4-xx+2 = lim 4x- 11+ 2x = –1. Пряма у = 1 – горизонтальна асимптота.

х→ ∞ х→ ∞

Графік див. у відповідях.

2) f(x) = 2x2- 1.

1. Область визначення функції х ≠ ±1, тобто D(f) = (–∞; –1) ∪ (–1; 1) U (1; +∞). x = –1 i x = 1 – вертикальні асимптоти.

2. f(–x) = f(х), функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3. f(x) ≠ 0 при будь–якому значенні х – D(f).

4. f(x) > 0 на проміжках (–∞; –1) і (x; +∞);

f(x) < – на (–1; 1).

5 – 6. f’(x) = -2 • 2x(x2- 1)2 = –4x(x2- 1)2.

f(x) = 0 при л: = 0; f(x) не існує при х – ±1.

Критична точка одна – х = 0.

f’(х) > 0 і функція зростає на проміжках (–∞; –1) і (–1; 0];

f’(x) < 0 і функція спадає на [0; 1) і (1; +∞); х = 0 – точка максимуму. f(0) = 2.

Графік див. у відповідях.

3) f(x) = 6x-6x2+ 3.

1. D(f) = (–∞; +∞).

2. f(–x) = 6 • -x-6x2+ 3 = -6x-6x2+ 3; f(–x) ≠ f(x); f(–x) ≠ –f(x).

Функція не є ні парною, ні непарною.

3. f(x) = 0 при х = 1 – нуль функції.

4. Оскільки х² + 3, то знак f(x) залежить від знаку виразу 6х – 6.

6х – 6 > 0; 6х > 6; х > 1; f(x) > 0 на (1; +∞);

6х – б < 0; 6х < 6; х < 1; f(x) < 0 на (–∞; 1).

5–6. f’(x) = 6x2 +3-6x-6 • 2x(x2 +3)2 = 6x2+18-12x2+12x(x2 +3)2 = 18+12x-6x2(x2 +3)2;

f’(x) = 0; 6x² – 12x + 18 = 0;

x² – 2x – 3 = 0;

x₁ = 3, x₂ = –1 – критичні точки.

f’(x) > 0 на проміжку (–1; 3); f’(x) < 0 на проміжках (–∞; –1) і

(3; +∞).

Функція зростає на проміжку [–1; 3], спадає на (–∞; –1] і (3; +∞).

x_min = –1; x_max = 3.

f(–1) = 6 • -1-6(-1)2+ 3 = -6-61 + 3 = -124 = –3; f(3) = 6 • 3-632+ 3 = 1212 = 1.

7. Додатково: f(0) = 0-60+3 = –2.

Графік див. у відповідях.

4) f(x) = x2- 9x2-4.

1. D(f) = (–∞; –2) ∪ (–2; 2) ∪ (2; +∞).

2. f(–x) = f(x) – функція парна, графік симетричний відносно осі ординат.

3. f(x) = 0, якщо x² – 9 = 0, тобто при x = ±3 – нулі функції.

x = 2 і x = –2 – вертикальні асимптоти.

4. f(x) > 0 при ∈ (–∞; –3) ∪ (3; +∞);

f(x) < 0 при ∈ (3; 3).

5–6. f’(x) = 2xx2 -4-2x(x2 -9)(x2 -4)2 = 2x(x2 -4-x2 +9)(x2 -4)2 = 10x(x2 -4)2.

f’(x) = 0, якщо х = 0 – критична точка.

f’(x) ≥ 0 на [0; 2) і (2; +∞);

f’(х) ≤ 0 на (–∞; –2) і (–2; 0].

Звідси функція f(x) зростає на проміжках [0; 2) і (2; +∞), спадає на (–∞; –2) і (–2; 0].

x_min = 0, f(0) = 0-90-4 = 94.

7. limx2- 9x2- 4 = limx2x2-9x2x2x2-4x2 = lim1-9x21- 4x2 = 11 = 1.

x→∞ x→∞ x→∞

Таким чином, у = 1 – горизонтальна асимптота. Графік див. у відповідях.

5) f(x) = x4-x2.

1. D (f) = (–∞; –2) ∪ (–2; 2) ∪ (2; +∞).

Оскільки x ≠ ±2, то прямі = –2 і х = 2 – вертикальні асимптоти.

2. f(–x) = -x4-(-x)2 = x4-х2 = –f(x) – функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат.

3. f(x) = 0 при х = 0.

4. f(x) > 0 на проміжках (–∞; –2) і [0; 2);

f(x) < 0 на проміжках (–2; 0] і (2; +∞).

5–6. f’(x) = 4-x2 -x(-2x)(x2 -4)2 = 4-x2 +2x2(x2 -4)2 = 4+ x2(x2 -4)2.

f’(x) > 0 для будь–якого х з області визначення функції, тому функція f(x) зростає на проміжках (–∞; –2), (–2; 2) і (2; +∞).

Критичних точок, а отже, й екстремумів немає.

6) f(x) = –2xx2+ 1.

1. D(f) = (–∞; +∞).

2. f(–x) = –2 • (-x)-x2+1 = 2xx2+ 1 = –f(x) – функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат.

3. f(x) = 0 при х = 0.

4. f(x) > 0 при x < 0; f(х) < 0 при х > 0.

5–6. f’(x) = 2x2 +1-2x • 2x(x2 +1)2 = 2x2+2-4x2(x2 +1)2 = 2-2x2(x2 +1)2 = 2(x2 -1)(x2 +1)2 = 2(x-1)(x+1)(x2 +1)2.

f’(x) = 0, якщо х =1 і x = –1 – критичні точки.

f’(x) ≥ 0, функція зростає на (–∞; –1] і |1: +∞);

f’(x) ≤ 0, функція спадає на [–1; 1].

x_max = –1 , х_min = 1.

f(–1) = -2 • (-1)(-1)2+1 = 22 = 1; f(1) = -2 • 112+1 = –22 = –1.

Графік див. у відповідях.

7) f(x) = 2(x-1)x2.

1. D(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞). Вісь ординат – вертикальна асимптота.

2. f(–x) = 2(-x-1)(-x)2 = –2(x+1)x2;

f(–x) ≠ f(x); f(–x) ≠ –f(x).

Функція не є ні парною, ні непарною.

3. f(x) = 0 при х = 1.

4. f(x) > 0, якщо х > 1; f(x) < 0, якщо x < 1.

5–6. f’(x) = 2 • x2 -2x-1 • 2xx4 = 2x2-4x2+4xx4 = 4x-2x2x4 = 2x(2- x)x4 = 2(2- x)x3.

f’(x) = 0, якщо х = 2 – критична точка.

f’(x) > 0 на проміжку (0; 2];

f’(x) < 0 на проміжках (–∞; 0) і [2; +∞).

Тоді функція f(x) зростає на (0; 2], спадає на (–∞; 0) і [2; +∞).

x_max = 2; f(2) = 2(2-1)22 = 24 = 12.

8) f(x) = x2+ 4x2- 4.

1. D(f) = (–∞; –2) ∪ (–2; 2) ∪ (2; +∞). х = –2 і х = 2 – вертикальні асимптоти.

2. f(–x) = (-x)2+4(-x)2-4 = x2+ 4x2- 4 = f(x). Функція парна.

3. f(x) = x2+ 4(x-2)(x+2); f(x) ≠ 0 при всіх х з D(f).

4. f(x) > 0, якщо х ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞);

f(x) < 0, якщо х ∈ (–2; 2).

5–6. f’(x) = 2xx2 -4-x2 +4 • 2x(x2 -4)2 = 2x(x2 -4-x2 -4)(x2 -4)2 = -16x(x2 -4)2.

f’(x) = 0 при x = 0 – критична точка.,

f’(х) > 0 при х ∈ (–∞; –2) ∪ (2; 0);

f’(х) < 0 при х ∈ [0; 2) ∪ (2; +∞).

Функція f(x) зростає на проміжках (–∞; –2) і (2; 0], спадає на проміжках [0; 2) і (2; +∞).

x_max = 0; f(0) = –1 – максимум.

7. limx2+ 4x2- 4 = lim1+4x21-4x2 = 11 = 1. y = 1 – горизонтальна асимптома.

x→∞ x→∞