§ 43: 43.1

43.1 Дослідіть функцію та побудуйте її графік:

1) f(x) = 3x – x³ – 2.

1. D(f) = R.

2. f(–x) = 3 • (–x) – (–x)³ – 2 = –3x + x³ – 2;

f(–x) ≠ f(x); f(–x) ≠ –f(x).

Функція f(x) ні парна, ні непарна.

3. 3x – x³ – 2 = 0; x = 1 або х = –2.

4. f(x) > 0 на (–∞; –2);

f(x) < 0 на (–2; 1) і (1; +∞).

5–6. f’(x) = 3 – Зх² = 3(1 – х²) = 3(1 – х)(1 + х).

f’(x) = 0 при х = 1 та х = –1, це критичні точки.

f(x) зростає на [–1; 1], спадає на (–∞; 1] в [1; +∞).

x_max = 1, f(1) = 3 • 1 – 1³ – 2 = 0;

x_min = –1, f(–1) = 3 • (–1) – (–1)³ – 2 = –3 + 1 – 2 = –4 .

7. f’’(x) = –6х; f"(х) = 0 при х = 0.

f’’(x) > 0 при х < 0; f(x) < 0 при х > 0.

Отже, функція f(x) опукла вниз на (–∞; 0] і опукла вгору на [0; +∞),

X = 0 – точка перегину.

Графік див. у відповідях.

2) f(x) = 2x³ – 3x² + 5.

1. D(f) = R.

2. f(–x) = 2 • (–х)³ – 3 • (–x)² + 5 = –2x³ – 3x² + 5;

f(–x) ≠ f(x);

f(–x) ≠ –f(x). Функція f(х) ні парна, ні непарна.

3. f(x) = 0 при x = –1.

4. f(x) > 0 на (–1; +∞);

f(x) < 0 на (–∞; –1).

5–6. f’(x) = 6x² – 6х = 6x(х – 1).

f’(x) = 0 при x = 0 i x = 1 – критичні точки.

f(x) зростає на (–∞; 0] і [1; +∞), спадає на [0; 1].

x_max = 0, f(0) = 5;

x_min = 1, f(1) = 2 – 3 + 5 = 4.

f’’(x) = 12x – 6

f’’(x) ≥ 0, 12x – 6 ≥ 0; 12x ≥ 6; x ≥ 12.

f’’(x) ≤ 0, 12x – 6 ≤ 0; x ≤ 12.

Функція опукла вгору на (–∞; 12], опукла вниз на [12; +∞); x = 12 – точка перегину.

Графік див. у відповідях.

3) f(x) = 3x – x39.

1. D(f) = R.

2. f(–x) = 3(–x) – (-x)39 = –3x + x39 = –f(x); функція непарна, графік симетричний відносно початку координат.

3. f(x) = 0; 3x – x39 = 0; 27x-x39 = 0; x(27 – x²) = 0;

x(33 – x)(33 + x) = 0; x = 0; x = ± 3 – нулі функції.

4. f(x) > 0 при х ∈ (–∞;3) ∪ (0; 3);

f(x) < 0 при х ∈ (3; 0) ∪ (3; +∞).

5–6. f’(x) = 3 – 3x29 = 3 – x29. f’(x) = 0;

3 – x29 = 0; 9- x29 = 0; (3 – x)(3 + x) = 0;

x = 3, x = –3 – критичні точки. Функція зростає на проміжку [–3; 3], спадає на (–∞; –3] i [3; +∞).

x_min = –3; f(–3) = 3 • (–3) – (-3)39 = –9 + 3 = –6; x_max = 3;

f(3) = 3 • 3 – 339 = –9 + 279 = 6.

7. f’’(x) = –2x3; y’’(x) ≥ 0 при x ≤ 0; f’’(x) ≤ 0 при х ≥ 0. Отже, функція опукла вгору на [0; +∞), опукла вниз на (–∞; 0]. x = 0 – точка перегину.

4) f(x) = 32 x² – x³.

1. D(f) = (–∞; +∞).

2. f(–x) = 32 (–x)² – (–x)³ = 32 x² + x³; f(–x) ≠ f(x); f(–x) ≠ –f(x). Отже, функція f(x) не є ні парною, ні непарною.

3–4. 32 х² – x³ = x² (32 – x).

Числа 0 і 32 – нулі функції.

f(x) > 0 при x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 32); f(x) < 0 при х ∈ (32; +∞).

5–6. f'(x) = 3x – 3x² = 3x(1 – x) = 3x(1 – x).

f’(x) = 0 при х = 0, х = 1 – критичні точки.

Функція зростає на проміжку [0; 1], спадає на (–∞; 0] i [1; +∞);

x_max = 1; x_min = 0.

f(1) = 32 (1)² – 1³ = 32 – 1 = 12; f(0) = 0.

7. f’(x) = 3 – 6x. f’’(x) ≤ 0; 3 – 6x ≤ 0; 6x ≥ 3; x ≥ 12;

f’’(x) ≥ 0; 3 – 6x ≥ 0; 6x ≤ 3; x ≤ 12.

Функція f(x) опукла вгору на проміжку [12; +∞), опукла вниз на (–∞;

+ 12]; x – 12 – точка перегину.

Графік функції див. у відповідях.

5) f(x) = x⁴ – 2х² + 1.

1. D(f) = (–∞; +∞).

2. f(–х) = (–х)⁴ – 2 • (–x)² + 1 = x⁴ – 2х² + 1 = f(x).

Функція f(x) парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3. x⁴ – 2х² + 1 = 0; (х² – 1)² = 0; х² = 1; х = –1 або x = 1 – нулі функції.

4. f(x) > 0 на проміжках (–∞; –1), (–1; 1) і (1; +∞).

5–6. f’(x) = 4х⁴ – 4х = 4х(х² – 1) = 4х(x – 1)(х + 1).

f’(x) = 0, якщо х = 0,

х = 1, х = –1 – критичні точки.

f’(x) > 0 на проміжках (–1; 0) і (1; +∞);

f’(x) – 0 на (–∞; –1) і (0; 1).

Отже, функція f(x) зростає на проміжках

[–1; 0] і [1; +∞), спадає на проміжках (–∞; –1] і [0; 1].

х_min = –1; x_max = 0; x^min = 1 .

f(–1) = (–1)⁴ = 2 • (–1)² + 1 = 1 – 2 + 1 = 0; f(0) = 1;

f(1) = 1⁴ = 2 • 1⁴ + 1 = 0.

6) f(x) = (х + 3)²(x – 1)².

1. D(f) = R.

2. f(–x) = (–x + 3)²(– x – 1)² ≠ f(x) ≠ – f(x).

Функція не є ні парною, ні непарною,

3. f(х) = 0 при х = –3 і х = 1 – нулі функції.

4. f(x) > 0 на проміжках (–∞; –3) U (–3; 1) U (1; +∞).

5–6. f’(х) = 2(х + 3)(х – 1)² + 2(х – 1)(х + З)² = 2(х – 1)(х + 3)(х – 1 + х + 3) = 2(х – 1)(х + 3)(2х + 2) = 4(х – 1)(х + 3)(х + 1).

f(x) = 0 при х = 1, x = –1, x = –3 – критичні точки.

f’(х) > 0 на проміжках (–3; 1) і (1; +∞);

f’(x) < 0 на проміжках (–∞; –3) і (–1; 1).

Отже, функція f(x) зростає на проміжках [–3; –1] і [1; +∞),

спадає на (–∞; –3] і [–1; 1].

x_min = – 3; x_max = – 1; xmin = 1 .

f(–3) – (–3 + 3)² • (–3; –1)² – 0; f(–1) = (–1 + 3)² • (–1 – 1)² = 4 • 4 = 16;

f(1) = (1 + 3)² • (1 – 1)² = 0.

Графік функції див. у відповідях.