§ 43: 43.8

43.8 Побудуйте графік функції:

1) f(x) = x + 1x2 + x3+ 1x2.

1. D(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞).

2. f(–x) = (-x)2+ 1(-x)2 = x2+ 1x2 = f(x), функція парна.

3–4. f(x) > 0 при будь–якому значенні х з області визначення функції.

5–6. f'(x) = 3x2 • x2- x3+ 1 • 2xx4 = 3x4- 2x4- 2xx4 = x4- 2xx4 = x(x2- 2)x4 = x3- 2x3.

f’(х) = 0, якщо х = 32 – критична точка

Дослідивши знак похідної, маємо,

що функція f(x) зростає на проміжках (–∞; 0) і [32; +∞), спадає на проміжку (0; 32).

Точка х = 32 – точка мінімуму, f(32) = (32)3+ 134 = 2+134 = 3 • 3234 • 32 = 3322.

f’’(x) = 3x2• x3- x3- • 3x2x6 = 3x5- 3x5+ 6x2x6 = 6x4.

f’’(x) > 0 для всіх х з D(f), тому функція опукла вниз на проміжках

(–∞; 0) і (0; +∞).

8. Пряма х = 0 – вертикальна асимптота. Перевіримо наявність похилої асимптоти.

k = lim x3+ 1x3 = 1; b = lim (x3+ 1x2 – x) = lim (x3+ 1-x3x2) = lim 1x2 = 0.

x→∞ x→∞ x→∞ x→∞

Отже, у = х – похила асимптота.

2) f(x) = x2- 2x+2x-1.

1. D(f) = (–∞; 1) ∪ (1; +∞).

2. Оскільки область визначення функції не симетрична відносно початку координат, то функція f(x) не може бути ні парною, ні непарною.

3–4. f(x) ≠ 0 при будь–якому х з D(f).

f(x) < 0, якщо х ∈ (–∞; –1); f(x) > 0, якщо х ∈ (1; +∞).

5–6. f’(x) = 2x-2x-1- (x2- 2x+2)(x-1)2 = 2x2- 4x+2-x+2x-2(x-1)2 = x2- 2x(x-1)2 = x(x-2)(x-1)2;

f’(x) = 0 при х = 0 і х = 2 – критичні точки.

x	(–∞; 0)	0	(0; 1)	1	(1; 2)	2	(2; +∞)
f’(x)	+	0	–	–	–	0	+
f(x)	↗	–2	↘	–	↘	2	↗
		max				min

f(0) = 2; f(2) = 22- 2 • 2+22-1 = 2.

Точки екстремумів: x_max = 0; f(0) = 2; x_min = 2; f(2) = 2.

7. f’’ = 2x-2(x-1)2- x2- 2x • 2(x-1)(x-1)4 = x-1(2x2+ 2x-2x+2-2x+4x)(x-1)4 = 2(x-1)(x-1)4 = 2(x-1)3.

f’’(x) > 0, якщо х > 1, тому функція опукла вниз на проміжку (1; +∞)

f’’(х) < 0, якщо х < 1, функція опукла вгору на проміжку (–∞; 1). Оскільки 1 ∉ D(y), точок перегину немає.

8. Пряма х = 1 – вертикальна асимптота.

k = lim f(x)x = lim x2- 2x+2x2- x = 1;

x→∞ x→∞

b = lim(f(x) – kx) = lim(x2- 2x+2x2- x – x) = lim x2- 2x+2- x2+ xx-1 =

x→∞ x→∞ x→∞

= lim 2-xx-1 = lim 2x- 11- 1x = –1.

x→∞ x→∞

y = x – 1 – похила асимптота.

3) f(x) = x3- 4(x-1)3.

1. D(f) = (–∞; 1) ∪ (1; +∞).

2. Функція ні парна, ні непарна, оскільки область визначення не симетрична відносно початку координат.

3–4. f(x) = 0, якщо x³ = 4, х = 34.

f(x) > 0 при х ∈ (–∞; 1) ∪ (34; +∞); f(x) < при х ∈ (1; 34).

5–6. f’(x) = 3x2(x-1)3- x3- 4•3(x-1)(x-1)2(x-1)6 = 3(x-1)2(x3- x2- x3+ 4)(x-1)6 = 3(x- )2(4- x2)(x-1)3 = 3(4- x2)(x-1)4;

f’(x) = 0, якщо х = 2 або х = –2 – критичні точки.

x	(–∞; –2)	–2	(–2; 1)	1	(1; 2)	2	(2; +∞)
f’(x)	–	0	+	–	+	0	–
f(x)	↘	49	↗	–	↗	4	↘
		min				max

x_min = –2; x_max = 2 – точки екстремумів.

f(–2) = -8-4(-3)3 = -12-27 = 49; f(2) = 8-4(2-1)3 = 41 = 4.

7. f’’(x) = (12-3x2(x-1)4)’ = -6x(x-1)4- 4(12-3x2)(x-1)3(x-1)8 = (x-1)3(-6x2+ 6x-48+12x2)(x-1)8 = 6x2+ 6x-48(x-1)8 = 6(x2+ x-8)(x-1)5.

f’’(x) = 0, якщо x² + x – 9 = 0;

D = 1 + 32 = 33;

x₁ = -1+ 332; x₂ = -1- 332.

Функція опукла вниз на проміжках (–∞; -1- 332] і [-1+ 332; +∞); опукла вгору на [-1- 332; -1+ 332]. x = -1- 332 i x = -1+ 332 – точки перегину.

8. Пряма х = 1 – вертикальна асимптота. lim f(x) = lim x3- 4(x-1)3 = 1,

х→∞ х→∞

тому пряма у = 1 – горизонтальна асимптота.