§ 22: 22.11

22.11 Спростіть вираз:

1) cos2α+ cos2α1 • sinαcosα+ sin2α+ sin2α1 • cosαsinα =

= cos2α+cosαsinα+ sin2α+sinαcosα = cos2α+2sinαcosα+ sin2α = (cosα+sinα)2 = |cosα + sinα|;

α – кут ІІІ чверті, тому cosα < 0, cosα + sinα < 0.

Розкриваємо модуль: –(cosα + sinα) = –cosα – sinα.

2) cos2α- cos2αcos2βtgβctgα= cos2α(1- cos2β)tgβctgα= cos2αsin2βtgβctgα = |cosαsinβ|tgβctgα;

α – кут ІІІ чверті, сosα < 0; β – кут ІІ чверті, sinβ > 0; cosα •

• sinβ < 0.

Розкриваємо модуль:

–cosαsinβ : (tgβctgα) = –cosα • sinβ : cosβsinβ • sinαcosα = –sinα cosβ.

3) 2-2cos2β + 2sin2β-22sinβ+1 = 2(1- cos2β) +

+(2sinβ-1)2 = 2|sinβ| + |2sinβ – 1|.

Для 3π4 ≤ β ≤ π sinβ ≥ 0, тому маємо: 2sinβ + 2sinβ – 1 =

= 22sinβ – 1.