§ 14: 14.3-14.4

14.3 Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

1) х2- 3х+5 + х² = 3х + 7; х2- 3х+5 + х² – 3х + 5 – 12 = 0.

Заміна: х2- 3х+5 = t, t ≥ 0.

t² + t – 2 = 0; t₁ = –4; t₂ = 3;

–4 – не задовольняє умову t ≥ 0;

х2- 3х+5 = 3; x² – 3x – 4 = 0; x₁ = –1; x₂ = 4.

Перевірка: х₁ = –1; (-1)2- 3 •-1+ 5 + (–1)² = 3 • (–1) + 7;

4 = 4 – правильно; х₂ = 4; 42- 3х+5 + 4² = 3 • 4 + 7;

19 = 19 – правильно;

Відповідь: –1; 4.

2) 3х2- 9х-26 = 12 + 3х – х². Заміна: 3х2- 9х-26 = t, t ≥ 0;

3x² – 9x – 26 = t²; 3x² – 9x – 36 + 10 = t²; 3(x² – 3x – 12) = t² – 10;

x² – 3x – 12 = t2- 103; t = (t2- 10)3;

3t + t² – 10 = 0; t² + 3t – 10 = 0; t₁ = –5; t₂ = 2.

–5 – не задовольняє умову t ≥ 0.

3х2- 9х-26 = 2; 3x² – 9x – 26 = 4; 3x² – 9x – 30 = 0;

x² – 3x – 10 = 0; x₁ = –2; x₂ = 5.

Перевірка: х₁ = –2; 3(-2)2- 9-2- 26 = 12 + 3(–2) – (–2)²;

2 = 2 – правильно;

х₂ = 5; 3 • 52- 9 •5-26 = 12 + 3 • 5 – 5²; 2 = 2 – правильно.

Відповідь: –2; 5.

3) 2х² + 6х – 3х2+ 3х-3 = 5. ОДЗ: х² + 3х – 3 ≥ 0;

х ∈ (–∞; – -3- 212) ∪ (–-3- 212; +∞). Заміна: х2+ 3х-3 = t,

t ≥ 0;

x² + 3x – 3 = t²; 2x² + 6x – 6 = 2t²; 2x³ + 6x = 2t² + 6;

2t² + 6 – 3t – 5 = 0; 2t² – 3t + 1 = 0; D = 1; t₁ = 12; t₂ = 1;

х2+ 3х-3 = 12; x² + 3x – 3 = 14; 4x² + 12x – 13 = 0;

D: x₁ = -12+4228 = -3+ 222; x₂ = -3- 222 – не задовольняє ОДЗ;

х2+ 3х-3 = 1; х² + 3 – 3 = 1; х² + 3х – 4 = 0; х₁ = –4; х₂ = 1.

Перевірка: х₁ = –4; 5 = 5 – правильно; х₂ = 1; 5 = 5 – правильно.

Відповідь: –4; 1.

4) х5х + 5хх = 72; 10х6 + 10х3 = 72; (10х3)³ + 10х3 – 72 = 0.

Заміна: 10х3 = t, t ≥ 0.

t² + t – 72 = 0; t₁ = –9; t₂ = 8.

–9 – не задовольняє умову t ≥ 0; 10х3 = 8; x⁸ = (2³)¹⁰; x = 2¹⁰ = 1024.

Перевірка: 102451024 + 510241024 = 72; 72 = 72.

Відповідь: 1024.

14.4 Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

1) х² – 4х – 3х2- 4х+20 + 10 = 0. Заміна: 3х2- 4х+20 = t,

t ≥ 0.

t² – 3t – 10 = 0; t₁ = –2; t₂ = 5; –2 – не задовольняє умову t ≥ 0;

х2- 4х+20 = 5; x² – 4x + 20 = 25; x² – 4x – 5 = 0; x₁ = –2;

x₂ = 5.

Перевірка: х₁ = –1; 0 = 0 – правильно; х₂ = 5;

25 – 4 • 5 – 325-4 •5+20 + 10 = 0; 0 = 0 – правильно.

Відповідь: –1; 5.

2) 2х2- 3х+11 = 4 + 3х – х²; 2х2- 3х+11 = –(х² – 3х + 11) + 15.

Заміна: х2- 3х+11 = t, t ≥ 0.

2t = –t² + 15; t² + 2t – 15 = 0; t₁ = –5; t₂ = 3.

–5 – не задовольняє умову t ≥ 0.

х2- 3х+11 = 3; x² – 3x + 11 = 9; x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 1; x₂ = 2.

Перевірка: х₁ = 1; 212- 3 •1+11 = 4 + 3 • 1 – 1²; 6 = 6 – правильно; х₂ = 2; 222- 3 •2+11 = 4 + 3 • 2 – 2²; 6 = 6 – правильно.

Відповідь: 1; 2.

3) 2х2- 6х+40 = х² – 3х + 8. Заміна: 2х2- 6х+40 = t, t ≥ 0;

2x² – 6x + 40 = t²; x² – 3x + 8 + 12 = t22; x² – 3x + 8 = t22 – 12;

t = t22 – 12; 2t = t² – 24; t² – 2t – 24 = 0; t₁ = –4; t₂ = 6;

–4 – не задовольняє t ≥ 0; 2х2- 6х+40 = 6; 2x² – 6x + 40 = 36;

x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 1; x₂ = 2.

Перевірка: х₁ = 1; 2 • 12- 6 •40 = 1² – 3 • 1 + 8; 6 = 6 – правильно; х₂ = 2; 2 • 22- 6 •2+ 40 = 2² – 3 • 2 + 8; 6 = 6 – правильно.

Відповідь: 1; 2.

4) 5х² + 10х + х2+ 2х-15 = 123. Замына: х2+ 2х-15 = t,

t ≥ 0;

x² – 2x – 15 = t²; x² + 2x = t² + 15; 5x² + 10x = 5t² + 75; 5t² + 75 + t – 123 = 0; 5t² + t – 48 = 0; D = 961; t₁ = 3; t₂ = –3,2.

–3,2 – не задовольняє t ≥ 0.

х2+ 2х-15 = 3; x² + 2x – 15 = 9; x² + 2x – 24 = 0; x₁ = –6; x₂ = 4.

Перевірка: х₁ = –6; 5 • (–6)² + 10 • (–6) + (-6)2+ 2-6- 15 = 123;

123 = 123 – правильно; х₂ = 4; 5 • 4² + 10 • 4 + 42+ 2 •4-15 =

123; 123 = 123 – правильно.

Відповідь: –6; 4.