§ 7: 7.8

7.8 Доведіть нерівність 3ⁿ > 4n + 1, де n ∈ N, n ≥ 3.

Доведіть, що при будь–якому натуральному n, такому що n ≥ З, виконується рівність: 3ⁿ > 4n + 1.

Перевіримо, що рівність виконується при n = 3 : З³ > 4³ + 1; 27 > 13. Тобто «база індукції» доведена.

Нехай формула є правильною при n = k, тобто: 3^k > 4k + 1.

Доведемо справедливість формули при n = k + 1. Треба довести нерівність З^k+1 > 4(k + 1) + 1.

Розглянемо

3^k+1 = 3^k • 3 > (4k + 1) • 3 = 12k + 3 = 8k + 4k + 3 = 8k + 4k + 4 –

1 = 8k – 1 + 4(k + 1) = 8k – 1 + 4(k + 1) + 1 – 1 = 8k + 4(k + 1) + 1 = {8k – 1 > 0, оскільки k ≥ 30) > 4(k + 1) +1.

Тобто: З^k+1 > 4(k + 1) + 1.

Отже, припустивши, що формула є правильною при n = k, ми довели, що вона є правильною при n = k + 1. А з урахуванням

«бази індукції» можна зробити висновок, що формула є правильною

при будь–якому натуральному значенні n, такому що n ≥ 3.

Тобто формула: 3ⁿ > 4n + 1 при m ≥ З, n є N доведена.