§ 7: 7.10 (1)

7.10 Доведіть, що для будь–якого натурального n:

1) Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу

7^n–1 + 8^2n–1 кратне 19.

При n – 1 отримуємо: 7² + 8 = 57 ⋮ 9.

Тобто твердження «база індукції» доведене.

Нехай при n = k є правильним твердження, тобто (7^k+1+1 + 8^2(k+2)–1) ⋮ ⋮ 19.

Для доведення достатньо показати, що різниця

(7^k+2+ 8^2k+1) – (7^k+1 + 8^2k–1) кратна 19.

Перепишемо цю різницю так:

(7^k+2 – 7^k+х + 8^2k+1 – 82^k–1 = 7 • 7^k–1 – 7^k+1 + 8² • 8^2k–1 – 8^2k–1 = 7^k+1(7 – 1) + 8^2k–1(64 – 1) = 6 • 7^k+1 + 63 • 8^2k–1 = 6 • 7^k+1 + 6 • 8^2k–1 + 57 • 8^2k–1 = 6(7^k+1 + 8^2k–1) + 57 • 8^2k–1.

Маємо: (7^k+1 + 8^2k–1) ⋮ 19 ⇒ 57 • 82^k–1 ⋮ 19 ⇒ (6(7^k+1)

Отже, припустивши, що формула є правильною при n = k, ми довели, що вонa є правильною при n = k + 1. А з урахуванням

«бази індукції» можна зробити висновок, що формула є правильною

при будь–якому натуральному значенні n, тому що n ≥ 3.

Тобто твердження: (7ⁿ⁺¹ + 8^2n–1) ⋮ 10 доведене.

2) Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу 7 • 24ⁿ – 5 • 13n – 2ⁿ⁺¹ кратне 11.

При n = 1 отримуємо: 7 • 25 – 2 • 13 – 2² = 168 – 65 – 4 = 99 ⋮ 11. Тобто твердження «база індукції» доведене.

Нехай при n = k є правильним твердження, тобто (7 • 24^k+1 – 5 • 13^k+1 + 2^k+1–1) ⋮ 11.

Для доведення достатньо показати, що різниця

(7 • 24^k+1 – 5 • 13^k+1 + 2^k+1–1) – (7 • 24^k – 5 • 13^k + 2^k+1) кратна 11.

Перепишемо цю різницю так:

7 • 24^k+1 – 7 • 24^k – 5 • 13^k+1 + 5 • 13^k + 2^k+2 – 2^k+1 = 7 • 24 • 24^k – 7 • 24^k – 5 • 13 • 13^k + 5 • 13^k + 2 • 2^k+1 – 2^к+1 = 7 • 24^k(24 – 1) – 5 • 13^k)13 – 1) + 2^k+1(2 – 1) = 7 • 23 • 24^k – 5 • 12 • 13^k + 2^k+1 =

7 • 22 • 24^k – 5 • 11 • 13^k + 7 • 24^k – 5 • 13^k + 2^k+1.

Маємо: 7 • 22 • 24^k ⋮ 11; –5 • 11 • 13^k ⋮ 11; (7 • 24^k – 5 • 13^k + 2^k+1) ⋮ 11 ⇒ (7 • 22 • 24^k – 5 • 11 • 13^k + 7 • 14^k – 5 • 13^k + 2^k+1) ⋮ 11 ⇒ різниця (7 • 24^k+1 – 5 • 13^k+1 + 2^k+1+1) – (7 • 24^k – 5 • 13^k + 2^k+1) кратна 11 ⇒ (7 • 24^k+1 – 5 • 13^k+1 + 2^k+1+1) ⋮ 11.

Отже, припустивши, що формула є правильною при n = k, ми довели, що вона є правильною при n = k + 1. А з урахуванням «бази індукції» можна зробити висновок, що формула є правильною

при будь–якому натуральному значенні n, тому що n ≥ 3.

Тобто твердження: (7 • 24ⁿ – 5 • 13ⁿ – 2ⁿ⁺¹) ⋮ 11 доведене.