§ 7: 7.5

7.5 Виведіть формулу для обчислення суми

Виведіть формулу для обчислення суми:

11 • 3 + 13 • 5 + 15 • 7 +…+ 12n-1(2n+1); n ∈ N.

Для n =1: 11 • 3 = 13.

Для n = 2:

11 • 3 + 12 • 5 = 13 + 115 = 615 = 25 = 22 •2+1.

Для n = 3:

11 • 3 + 13 • 5 + 15 • 7 = 13 + 115 + 135 = 25 + 135 = 1535 = 37 = 33 • 2 + 1

Справедливість цієї формули при n = 1 було встановлено вище.

Нехай формула є правильною при n = k, тобто:

11 • 3 + 13 • 5 + 15 • 7 +…+ 12k-1(2k+1) = k2k+1.

Перевіримо справедливість формули при n = k + 1. Маємо:

11 • 3 + 13 • 5 + 15 • 7 +…+ 12k-1(2k+1) + 12k+1- 1(2k+1+ 1) = k2k+1 + k2k+1(2k+3) = 1(2k+1)(k+ 12k+3) = 12k+1 • k2k+3+ 12k+3 = 2k2+ 3k+12k+1(2k+3) = k+1(2k+1)2k+1(2k+3) = k+12k+2+1 = k+12k+1+ 1.

Тобто:

11 • 3 + 13 • 5 + 15 • 7 +…+ 12k-1(2k+1) + 12k+1- 1(2k+1+ 1) = k+12k+1+1.

Отже, припустивши, що формула є правильною при n = k, ми довели, що вона є правильною при n = k +1. А з урахуванням

«бази індукції» можна зробити висновок, що формула є правильною при будь–якому натуральному значенні n.

Тобто формула:

11 •3 + 13 •5 + 15 •7 +…+ 12n-1(2n+1) = n2n+1 доведена.