§ 7: 7.7

7.7 Доведіть нерівність 2ⁿ > 2n + 1, де n ∈ N, n ≥ 3.

Доведіть, що при будь–якому натуральному n, такому що n ≥ 3, виконується рівність: 2ⁿ > 2n + 1.

Перевіримо, що рівність виконується при n = 3 : 2³ > 2 • 3 + 1;

8 > 7. Тобто «база індукції» доведена.

Нехай формула є правильною при n = k, тобто: 2^k > 2к+1.

Доведемо справедливість формули при n = k + 1. Треба довести рівність: 2^k+1 > 2(k + 1) + 1.

Розглянемо: 2^k+1 = 2^k • 2 > (2k + 1) • 2 = 4k + 2 = 2k + 2k + 2 = 2k + 2(k + 1) = 2k + 2(k + 1) + 1 – 1 = 2k – 1 + 2(k + 1) + 1 = {2k – 1 > 0, оскільки k ≥ 0} = 2(k + 1) + 1.

Тобто: 2^k+1 > 2(k + 1) + 1.

Отже, припустивши, що формула є правильною при n = k, ми довели, що вона є правильною при n = k + 1. А з урахуванням

«бази індукції» можна зробити висновок, що формула є правильною

при будь–якому натуральному значенні n, тому що n ≥ 3.

Тобто нерівність 2ⁿ > 2n + 1 при n ≥ З, n ∈ N доведена.