§ 44: 44.69 (1)

44.69 Визначте, при яких значеннях параметра a рівняння має на проміжку 1) один корінь; 2) два корені.

cos²x – (710 + a)cosx + 7a10 = 0, [π3; 11π6] ;

1) 1 корінь: cosx = t;

t² –(710 + a)t + 7a10 = 0;

D = 49100 + 75a + a² – 145a = (710 – a)²;

t₁ = 710+ a+ 710- a2 = 710; t₂ = 710+ a- 710+ a2 = a;

cosx = 710; cosx = a;

x = ±arccos 710 + 2πn, n ∈ Z;

при а < –1 нема коренів;

при а > 32 корені рівняння не попадатимуть у вказаний проміжок.

а = 710 – дублюється перше рівняння;

Корінь х = –arccos 710 + 2π належить проміжку [π3; 11π6].

Відповідь: а < –1 або а = 710, або а > 32 корінь 1 з проміжком

[π3; 11π6].

2) 2 корені: 1 корінь – х = –arccos710 + 2π нал. [π3; 11π6] 2 корінь

710 < a ≤ 32 або 12 < a < 710, або а = –1.

2) один корінь на проміжку (–π2; π6);

З попередньо розв’язаного рівняння:

t₁ = 2a+3+ 12a+132 та t₂ = 2a+3- 12a+132;

Щоб рівняння мало 1 корінь на вказ. проміжку, необхідно, щоб t < 12;

2a+3+ 12a+132 < 12; 2a+3- 12a+132 < 12;

2a + 3 + 12a+13 < 1; 2a + 3 – 12a+13 < 1;

12a+13 < –2a – 3; 12a+13 > –2a + 2;

–2a – 3 > 0; 2a + 3 < 0;

12a + 13 ≥ 0; 12a + 13 ≥ 0, ∅;

12a + 13 < (–2a – 3)²; 2a + 3 ≥ 0;

a < –32; 12a + 13 > (2a + 2)²;

a ≥ –1312; a ≥ –32;

12a + 13 < (–2a – 3); 12а + 13 > 4a² + 8a + 4;

Дана система розв’язків немає

Розглянемо ще випадок, колиD = 0 12a + 13 = 0 a = –1312;2a+32 < 12;2a + 3 < 1;2a < –2;a < –1.

4a2 – 4a – 9 < 0;D = 16 + 4 • 4 • 9 = 160;a1 = 4+4108 = 1+ 102;a2 = 1- 102.

Відповідь: (1- 102; 1+ 102)∪{–1312}.