§ 44: 44.70 (1)

44.70 При яких значеннях параметра a рівняння має:

cos²x + (2a + 3)sinx – a² = 0;

1) має один корінь на проміжку [0; π] ;

1 – sin²x + (2a + 3)sinx – a² = 0;

sin²x – (2a + 3)sinx + a² – 1 = 0;

sinx = t;

t² – (2a + 3)t + a² – 1 = 0;

D = (2a + 3)² – 4 • (a² – 1) = 4a² + 12a + 9 – 4a² + 4 = 12a + 13 ≥ 0;

a ≥ –1312; t₁ = 2a+3+ 12a+132; t₂ = 2a+3- 12a+132;

Один корінь матиме рівняння, коли sinx = 1.

t₁ ≠ 1;

t₂ = 2a+3- 12a+132 = 1;

2a + 3 – 12a+13 = 2;

12a+13 = 2a + 1;

2a + 1 ≥ 0; a ≥ –12;

12a + 13 = 4a² + 4a + 1;

4a² – 8a – 12 = 0;

D = 64 + 4 • 4 • 12 = 256;

a₁ = 8+168 = 3; a₂ = –1 < –12 не підходить;

Відповідь: а = 3.

3) один корінь на проміжку [0; π2] ;

t₁ = 2a+3+ 12a+132; t = sinx; t₂ = 2a+3- 12a+132;

Для того щоб був 1 корінь на [0; π2] необхідно, щоб

t ≥ 0, але t ≤ 1;

2a+3- 12a+132 ≥ 0; 2a+3- 12a+132 ≤ 1;

2a + 3 – 12a+13 ≥ 0; 2a + 3 – 12a+13 ≤ 2;

12a+13 ≤ 2a + 3; 12a+13 ≥ 2a + 1.

5) три корені на проміжку [0; 2π) ;

t₁ = 2a+3+ 12a+132 = 2;

2a + 3 + 12a+13 = 2;

12a+13 = –1 – 2a;

–1 – 2a ≥ 0; a ≤ –12;

12a + 13 = 1 + 4a + 4a²; 4a² – 8a – 12 = 0;

a = –1; a₁ = –1;

a₂ = 3 > –12 не підходить.

Обчислимо t₂ = 2a+3- 12a+132 при a = –1;

t₂ = 2 •-1+ 3- 12-1+ 132 = -2+3-12 = 0;

при t = 0 sin x = 0 має 2 корені на [0; 2π).

Відповідь: а = –1.

6) чотири корені на проміжку (–π6; 4π3);

–12 ≤ 2а+3+ 12а+132 < 1

12a+13 < –2a – 1;

12a+13 ≥ –2a – 4;

1. 12a+13 < 2a – 1;

–2a – 1 > 0; a < –12; a ∈ (–1312; –1) ;

12a + 13 > 0; a > – 1312;

12a + 13 < 4a² + 4a + 1; 4a² – 8a – 12 > 0;

a² – 2a – 3 > 0;

a₁ = –1, a₂ = 3;

2. 12a+13 ≥ –2a – 4;

–2a – 4 ≥ 0; a ≤ –2;

12a + 13 ≥ 4a² + 16a + 16; 4a² + 4a + 3 ≥ 0 R, бо D < 0 a ≤ –2

–2a –4 < 0; a > –2;

12a + 13 ≥ 0; a ≥ –1312 a ≥ 1312;

Знайдемо спільний розв’язок між 1 і 2;

Відповідь: (–1312; –1).