§ 40: 40.24 (1)

40.24 Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1) f(x) = x²1- x; D(f) = (–∞; 1].

f’ = 2x • 1- x + x² • 121- x • (–1) = 2x1- x – x221- x = 2x1- x • 2-x221- x = 4x-4x2-x221- x = 4x-5x221- x = x(4-5x)21- x.

f’(x) = 0 при x = 0 і x = 45 – критичні точки.

Функція зростає на [0; 45]; спадає на (–∞; 0] і [45; 1]:

x_max = 45; x_min = 0.

2) f(x) = xx+1; D(f) = (0; +∞).

f’(x) = x'x+1- x(x+1)'(x+1)2 = 12x •x+1- x(x+1)2 = x+1-2x2x(x+1)2 = 1-x2x(x+1)2.

f’(x) = 0 при x = 1; f’(x) не існує при x = 0 і x = –1.

Точка x = –1 не є критичною, бо не входить до D(f).

Функція зростає на [0; 1]; спадає на [1; +∞); x_max – 1.

3) f(x) = 2x-73-x; D(f) = (–∞; 3).

f’(x) = 2x-7'3-x- (2-7)(3-x)'(3-x)2 = 23-x- 2x-723-x3-x = 43-x+ 2x-73-x = 12-4x+2x-73-x = 5-2x3-x = 2x-5x-3.

f’(x) = 0 при х = 2,5 – критична точка.

Функція зростає на (–∞; 2,5]; спадає на [2,5; 3); х_max = 2,5.