§ 40: 40.25 (1)

40.25 Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстре–

муму функції:

1) f(x) = x²x+2; D(f) = [–2; +∞).

f’(x) = (x²)’x+2 + x²(x+2)’ = 2xx+2 + x22x+2 = 4xx+2+ x22x+2 = 5x2+ 8 x2x+2 = x(5x+82x+2.

f’(x) = 0 при х = 0 і х = –85 – критичні точки.

f(x) не існує при х = –2 – критична точка.

Функція зростає на [–2; –85] і [0; +∞); спадає на [–85; 0]; x_max = –85;

x_min = 0.

2) f(x) = (x – 2)²x; D(f) = [0; +∞);

f’(x) = 2(x – 2) • x + (x-2)22x = 4x2- 8x+ x2- 4x+42x = 5x2- 12x+42x = 5x-2(x- 25)2x;

f(x) = 0 при х = 2 і х = 25; f’(x) не існує, якщо х = 0. Отже, х₁ = 2,

х₂ = 25, х₃ = 0 – критичні точки.

Функція зростає на [0; 25] і [2; +∞); спадає на [25; 2]; x_max = 25;

x_min = 2.

3) f(x) = 3x+1x-1; D(f) = (1; +∞).

f’(x) = 3x+1'• x-1- 3x+1 • (x-1)'(x-1)2 = 3x-1- 3x+12x-1x-1 = 6x-1- (3x+1)2x-1(x-1) = 6x-6-3x-12x-1(x-1) = 3x-72x-1(x-1).

f’(x) = 0 при х = 73 – критична точка;

f’(x) не існує при х = 1 – не є критичною точкою.

Функція зростає на [73; +∞); спадає на (1; 73); x_min = 73.