§ 4: 4.3

4.3 Доведіть, що функції f і g є взаємно оберненими:

1) f(x) = 4x + 2; g(x) = x4 – 12

D(f) = R = E(g); D(g) = R = E(f). Нехай f(x₀) = y₀, тобто у₀ = 4х₀ + 2.

Доведемо, що g(y₀) = x₀. Маємо: g(y₀) = y04 – 12 = 4x0+ 24 – 12 = x₀ + 24 – 12 = x₀. Отже f(x) = 4x + 2 та g(x) = x4 – 12 не є оберненими.

3) f(x) = (x – З)²; D(f) = [3; +∞); g(х) = x + 3.

E(f): (x – З)² ≥ 0 ⇒ E(f) = [0; +∞).

D(f): x ≥ 0 ⇒ D(g) = [0; +∞); E(g): x ≥ 0| + 3 ⇒ 3 + 3 ≥3 ⇒ E(g) = [3; +∞).

Отже маємо: D(f) = E(g) та D(g) = E(f).

Нехай f(x₀) = y₀, тобто y₀ = (x₀ – 3)².

Доведемо, що g(y₀) = x₀. Маємо: g(y₀) = y0 +3 = (x0- 3)2 + 3 = |x₀ – 3| + 3, оскільки x₀ ≥ 3, то g(у₀) = x₀ – 3 + 3 = x₀ ⇒ f(х) = (х – З)²; D(f) = [3; +∞) та g(x) = x + 3 є взаємно оберненими.