§ 4: 4.2

4.2 Доведіть, що функції f і g є взаємно оберненими:

1) f(x) = x3 + 13, g(x) = 3x – 1.

D(f) = R = F(g). D(g) = R = E(f). Нехай f(x₀) = y₀, тобто y₀ = x03 + 13. Доведемо, що g(y₀) = x₀. Маємо: f(x) = x3 + 13 і g(x) = 3x – 1 – є взаємно оберненими.

2) f(x) = x+2, g(x) = x² – 2; D(g) = [0; +∞)

D(f) : x + 2 ≥ 0; x ≥ –2 ⇒ D(f) = [2; +∞); E(f): y ≥ 0 ⇒ E(f) = [0;+∞). Знайдемо E(g): x² ≥ 0| –2 ⇒ x² – 2 ≥ –2 ⇒ g(x) ≥ –2 ⇒ E(g) = [–2; +∞). Отже маємо: D(f) = E(g) тa D(g) = E(f). Нехай f(x₀) = y₀, тобто y₀ = х0+ 2.

Доведемо, що g(x₀) = x₀. Маємо: g(y₀) = y02 – 2 = (x0+ 2)² – 2 = x₀ + 2 – 2 = x₀ ⇒ f(x) = x+2 та g(x) = x² – 2, де D(g) = [2; +∞), є взаємно оберненими.