§ 39: 39.19-39.20

39.19 При яких значеннях параметра a є спадною функція:

Див. №39.18

39.20 При яких значеннях параметра c функція зростає на R?

f(x) = (c – 12)x³ + 3(c – 12)x² + 6x + 7, D(f) = R.

Позначимо для зручності с – 12 = а; f(x) = ax³ + 3a² + 6x + 7.

f'(x) = 3a² + 6ax + 6.

Функція f(x) зростає на R, якщо f(x) > 0 при будь–якому значенні х.

Зах² + 6ах + 6 > 0; ах² + 2ах + 2 > 0. Ця нерівність виконується при будь–якому x ∈ R, якщо квадратний тричлен ах² + 2ах + 2 не має коренів і а > 0.

Отже, дискримінант тричлена – від'ємний.

D = (2а)² – 4 • а • 2 = 4а² – 8а; 4a² – 8a < 0; 4a(a – 2) < 0;

a > 0, або а < 0, а > 0, або а < 0,

а – 2 < 0 а – 2 > 2; а < 2 а > 2.

Друга система розв’язків не має. Отже, 0 < а < 2; 0 < с – 12 < 2;

12 < с < 14.

Відповідь: функція зростає на [12; 14].