§ 39: 39.21

39.21 При яких значеннях параметра a функція спадає на R?

у = (a + 3)x³ + 3(а + 3)x² – 5а + 12, D(y) = R.

Позначимо для зручності a + 3 = с, тоді у = сх³ + 3cx² – 5х + 12.

Функція спадає на R, якщо у’ < 0 для будь–якого x ∈ R.

у’ = Зсх² + 6сх – 5; 3cx² + 6cx – 5 < 0, якщо D < 0 і с < 0.

D = (6с)² – 4 • 3c • (–5) = 36c² + 60с = 12с(3c + 5).

D < 0, якщо 12с < 0, або 12х > 0, с < 0, або с > 0,

3х + 5 > 0 3х + 5 < 0; с > –53; с < –53.

Перша система розв'язків не має, отже, 0 < с < –53; 0 < а + 3 < –53;

–3 < а < –423.

Відповідь: [–423; –3].