§ 39: 39.18 (1-2)

39.18 При яких значеннях параметра a є зростаючою функція:

1) у’ = 3х² а. Функція є зростаючою, якщо її похідна додатна на області визначення.

у’ > 0; 3х² – а > 0; а < 3х². Оскільки 3х² ≥ 0, то а < 0.

Відповідь: а ∈ (–∞; 0]. Оскільки нуль входить до області визначення функції R, то x = 0 входить до проміжку.

2) y = 3sin4x + ax; y’ = 12cos4x + a; y’ > 0, якщо 12cos4x + a > 0; a > –12cos4x. Найменше значення, яке може приймати cos4x, це –1. Тоді а > –12 • (–1), а > 12. Враховуючи, що функція y неперервна на R, отримаємо: [12; +∞).

Відповідь: [12; +∞).

3) y = –21- x + ax; D(y) = (–∞; 1].

y’ = –2 • 121- x • (–1) + a; y’ = 11- x + a.

y’ > 0, якщо 11- x + a > 0, тобто а > 11- x.

Оскільки за означенням арифметичного квадратного кореня

11- x > 0 для всіх допустимих значеннях x, то –11- x < 0. Тоді а має бути більшим за будь–яке від'ємне число.

Відповідь: [0; +∞).

4) у = х23 + 2(а + 1)х² + 9х – 4, D(y) = R.

y = 3х23 + 2(a + 1) • 2x + 9 = x² + 4(a + 1) + 9.

y' > 0, якщо x² + 4(a + 1) + 9 > 0. Ця нерівність виконується при будь–якому значенні x, якщо квадратний тричлен х² + 4(а – 1) + 9 не має коренів, тобто D < 0.

D = b² – 4ac = 10(a + 1)² – 4 • 9 = 16(a² + 2a + 1) – 36 = 16a² + 32a – 20.

16a² + 32 – 2 < 0. Розв'яжемо цю нерівність.

16а² + 32 – 20 = 0; 4а² + 8а – 5 = 0;

D = 64 + 80 = 144; a₁ = -8+128 = 12; a₂ = -8-128 = –52;

Розв'язок: (–52; 12).

Отже похідна даної функції додатна, якщо а ∈ (–52; 12). Оскільки функція y неперервна на R, то вона зростає на [–52; 12].