§ 32: 32.12 (1)

32.12 Розв’яжіть рівняння:

1) sinπx4 = x² – 4x + 5; sinπx4 = (x – 2)² + 1.

Оскільки sinπx4 ≤ 1, a (x – 2)² + 1 ≥ 1, то коренем даного рівняння є ті значення змінної, при яких значення його лівої і правої частин одночасно дорівнюють 1. Отже дане рівняння рівносильне системі:

sin πx4 = 1; sin πx4 = 1; sin πx4 = 1; sin π2 = 1;

(x – 2)² + 1 = 1; (x – 2)² = 0; x = 2; x = 2 ⇒ x = 2.

Відповідь: х = 2.

2) 2sin x+ cos x = 2- x2; 22 :222sin x+ 22cos x = 2- x2;

2sin(x+ π4) = 2- x2. Оцінимо значення лівої і правої частин. Ліва частина:

–1 ≤ sin(x + π4) ≤ 1; –1 ≤ sin(x + π4) < 0; –1 ≥ sin(x + π4) > 0;

0 ≤ sin(x + π4) ≤ 1; 0 ≤ sin(x + π4) ≤ 1;

1 ≤ 1-sin(x+ π4) < –∞; –1 ≥ 1sin(x+ π4) > –∞;

+∞ > 1sin(x+ π4) ≥ 1; 1 ≤ 1sin(x+ π4) < –∞;

1sin(x+ π4) ∈ (–∞; –1] ∪ [1; +∞); 2sin(x+ π4) ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞).

Права частина: х² ≤ 0; –х² ≤ 0,2. 0 ≤ 2- x2 ≤ 2. Оскільки

2sin(x+ π4) ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞), в 2- x2 ∈ [0; 2], то коренями рівняння є ті числа, при яких значення лівої і правої частини рівняння дорівнюють 2. Отже рівняння рівносильне системі:

2sin x+ cos x = 2; 2sin 0 + cos 0 ≠ 2;

2- x2= 2; x = 0 ⇒ x ∈ ∅.

Відповідь: x ∈ ∅.