§ 32: 32.11 (1)

32.11 Розв’яжіть рівняння:

1) 2cos x2+ 2x6 = x² + 4x + 6; 2cos x2+ 2x6 = (x + 2)² + 2.

Оскільки 2cos x = x2+ 2x6 ≤ 2, a (x + 2)² + 2 ≥ 2, то коренем даного рівняння є ті значення змінної, при яких значення його лівої і правої частини одночасно дорівнюють 2. Отже дане рівняння рівносильне системі:

2cosx2+ 2x6 = 2; cosx2+ 2x6 = 1; cosx2+ 2x6 = 1; cos0 = 1;

(x + 2)² + 2 = 2; (x + 2)² = 0; x = –2; x = –2 ⇒

⇒ x = –2.

Відповідь: x = –2.

2) 3cosx + 4sinx = x² – 6x + 14; 3cosx + 4sinx = (x – 3)² + 5;

5 • (35cosx + 45sinx) = (x – 3)² + 5, оскільки (35)² + (45)² = 1, то

35 = sinα, a 45 = cosα ⇒ 5(sinx • cosx + cosα • sinx) = (x – 3)² + 5;

5 • sin(x + α) = (x – 3)² + 5.

Оскільки 5 • sin(x + α) ≤ 5, a (x – 3)² + 5 ≥ 5, то коренем даного рівняння є ті значення змінної, при яких значення його лівої і правої частин одночасно дорівнюють 5. Отже дане рівняння рівносильне системі:

3cosx + 4sinx = 5; 3 cosx + 4sinx = 5; 3cosx + 4sinx = 5;

x² – 6x + 14 = 5; x² – 6x + 9 = 0; (x – 3)² = 0;

3cos x + 4 sin x = 5; 3cos 3 + 4sin 3 ≠ 5;

x = 3; x = 3 ⇒ x ∈ ∅.

Відповідь: x ∈ ∅.