§ 31: 31.32 (1)

31.32 Визначте, при яких значеннях параметра a рівняння cos²x – (a – 12) cos x + a3 = 0 має на проміжку [π4; 5π3): 1) два корені; 2) три корені; 3) не менше трьох коренів.

1) Два корені. Нехай cosx = t, |t| ≤ 1.

Тоді t² – (a – 13) • t – a3 = 0 – квадратне рівняння відносно t і має розв'язки за умови D ≥ 0.

D = (a – 13)² + 4a3 = a² + 2a3 + 19 – 4a3 = a² + 2a3 + 19 = (a – 13)² ≥ 0 при будь–якому а. t₁ = (a – 13 + a + 13) : 2 = a;

t₂ = (a – 13 – (a + 13)) : 2 = –13.

Маємо: cosx = 0;

cosx = 13.

На проміжку [π4; 5π3) рівняння cosx = –13 має два корені х₁; х₂. Для того щоб рівняння cos²x – (a – 13) • cosx – a3 = 0 мало 2 корені, необхідно:

1) щоб рівняння cosx = a не мало коренів, це можливо за умови а < –1 або а > 22; 2) або щоб рівняння cosx = a мало коренями числа х₁ та х₂, це можливо за умови а = –13.

Відповідь: а ∈ {–13} ∪ (–∞; –1) ∪ (22; +∞).

2) Три корені.

Рівняння cosx = –13 має два корені на проміжку [π4; 5π3). Для того щоб рівняння cos² x – (a – 13) • cosx – a3 = 0 мало на проміжку три корені необхідно, щоб рівняння cos x = a мало єдиний корінь, відмінний від x₁ та x₂. Це можливо за умови а ≠ –13 або а = –1, або а ∈ [12; 22].

Відповідь: а ∈ [12; 22] ∪ {1}.

3) Не менше трьох коренів.

Це можливо, коли рівняння cos x = a має на проміжку [π4; 5π3) два корені або один корінь, відмінний від x₁ та x₂.

Тобто коли а ∈ [–1; –13] ∪ (–13; 22].

Відповідь: а ∈ [–1; –13] ∪ (–13; 22].