§ 31: 31.31 (1)

31.31 Визначте, при яких значеннях параметра a рівняння sin²x – (a + 22) sinx + a22 = 0 має на проміжку [0; 4π3]: 1) два корені; 2) три корені; 3) не менше трьох коренів.

1) Два корені.

Нехай sinx = t; |t| ≤ 1. Тоді t² + (a + 22) • t + a + 22 = 0 – квадратне рівняння і має розв'язки, якщо D ≥ 0.

D = (a + 22)² – 4a22 = a² + 22a2 + 12 – 4a22 = (a² – 22a2 + 12) = (a + 22)² ≥ 0 при будь–якому а ⇒ t₁ = (a + 22 + a – 22) : 2 = a;

t₂ = (a + 22 – a + 22) : 2 = 22.

Маємо: sinx = 22;

sinx = a.

Рівняння sinx = 22 має два корені на проміжку [0; 4π3], це х₁ та х₂.

Для того, щоб рівняння sin²x + (a + 32) • sinx + a22 = 0 мало на проміжку [0; 4π3] два кореня необхідно: 1) щоб рівняння sinx = a мало корені х₁ та х₂, це можливо за умови а = 22; 2) або рівняння sinx = a не має коренів, це можливо, якщо а < –33 або а > 1.

Відповідь: а ∈ (–∞; –32) ∪ (1; +∞) ∪ {22}.

2) Три корені.

Рівняння sin x = 22 має два корені на проміжку [0; 4π3]. Це х₁ та х₂. Для того, щоб рівняння sin²x + (a + 32) • sin x + a22 = 0 мало три кореня, необхідно, щоб рівняння sin x = a мало єдиний корінь, відмінний від x₁ та x₂, це можливо якщо а = 1 або ∈ [–32; 0).

Відповідь: [–32; 0) ∪ {1}.