§ 31: 31.30 (1)

31.30 Визначте, при яких додатних значеннях параметра a проміжок [0; a] містить рівно n коренів рівняння:

1) Містить 4 кореня рівняння 2sin²x + sinx = 0; sinx(2sinx + 1) = 0;

sinx = 0; sinx = πn, n ∈ Z;

sinx = –12; x = (–1)^k • arcsin(–12) + πk, k ∈ Z;

sin x = πn, n ∈ Z; x = 0; π; –π; 2π…

x = (–1)^k+1 • π6 + πk, k ∈ Z; x = –π6; 7π6; –5π6; 11π6…

Чотири кореня, це: 0; π; 7π6; 11π6. Тобто, якщо а ∈ [11π6; 2π), то проміжок (0; а] містить 4 кореня.

Відповідь: а ∈ [11π6; 2π).

2) Містить 3 кореня рівняння 2cos²x + cosx = 0; cosx(2cosx + 1) = 0;

cosx = 0; cosx = 0; sinx = π2 + πn, n ∈ Z;

2cosx + 1 = 0; cosx = –12; x = 2π3 + 2πk, k ∈ Z;

x = π2; –π2; 3π2…

x = 2π3; –2π3; 4π3; 8π3…

Три кореня, це: π2; 2π3; 4π3. Тобто, якщо а ∈ [4π3; 3π2), то проміжок [0; а] містить 3 кореня.

Відповідь: а ∈ [4π3; 3π2).