§ 31: 31.29 (1)

31.29 При яких додатних значеннях параметра a проміжок [0; a]

містить рівно три корені рівняння:

1) 2sin²x – sinx = 0; sinx(2sinx – 1) = 0;

sinx = 0; x = πn, n ∈ Z; x = πn, n ∈ Z;

sinx = 12; x = (–1)^k • arcsin12 + πk, k ∈ Z; x = (–1)^k•π6 + πk,k ∈ Z;

x = 0; π; – π…

x = π6; 5π6;…

Три кореня, це: 0; π6; 5π6.

Тобто якщо а ∈ [5π6; π), то проміжок [0; а] містить 3 кореня.

Відповідь: а ∈ [5π6; π).

2) 2cos²x – 3cosx = 0; cosx(2cosx – 3) = 0;

cosx = 0; x = π2 + πn, n ∈ Z; x = π2; –π2; 3π2…

cosx = 32; x = ±π6 + 2πk, k ∈ Z; x = π6; –π6; 11π6; 13π6…

Три кореня, це: π6; π2; 3π2. Тобто, якщо 3π2 ≤ а < 11π6, то проміжок [0; а] містить 3 кореня.

Відповідь: а ∈ [3π2; 11π6).