§ 31: 31.24 (1)

31.24 Розв’яжіть рівняння:

1) 10-18cosx = 6cosx – 2.

Нехай cos x = t, |t| ≤ 1. Тоді:

10-18t = 6t – 2 ⇔ 10 – 18t = (6t – 2)²; 10 – 18t = 36t² – 24t;

6t – 2 ≥ 0; 6t ≥ 2;

36t² – 6t – 6 = 0;

t ≥ 13.

Розв'яжемо перше рівняння: 6t² – t – 2 = 0;

D = 1 + 24 = 25; t₁ = 1+512 = 12; t₂ = 1-512 = –13;

За умови t ≥ 13 ⇒ t = 12. Маємо: cost = 12; x = ± arccos12 + 2πn, n ∈ Z;

x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z.

2) 3+4cos2x = 2cosx; 3+4(2cos2x-2) = 2cosx; 3+8cos2x-4 = 2cosx; 8cos2x-1 = 2cosx.

Нехай cosx = t, |t| ≤ 1.

Тоді: 8t2-1 = 2t ⇔ 8t² – 1 = 2t; 8t² – 2t – 1 = 0;

8t² – 1 ≥ 0; (22t – 1)(22t + 1) ≥ 0;

8(t – 12)(t + 14) = 0; t = 12, t = –14;

t ∈ (–∞; –122] ∪ [122; +∞); t ∈ (–∞; –122] ∪ [122; +∞) ⇒ t = 12.

Маємо: cosx = 12;

x = ± arccos12 + 2πn, n ∈ Z; x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z.