§ 31: 31.20

31.20 Розв’яжіть рівняння:

1) 3sinx3 = sinx;

3sinx3 = 3sinx3 – 4sin³x3; 4sin³x3 = 0; sinx3 = 0; x3 = πn, n ∈ Z;

x = 3πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = 3πn, n ∈ Z.

2) cos3x – 1 = cos2x; 4cos³x – 3cosx – 1 = –1 + 2cos²x;

4cos³x – 2cos²x – 3cosx = 0;

cosx • (4cos²x – 2cosx – 3) = 0;

1) cosx = 0; x = π2 + πn, n ∈ Z;

2) 4cos²x – 2cos²x – 3 = 0. Нехай cosx = t, |t| ≤ 1. Тоді:

4t² – 2t – 3 = 0; D₁ = 1 + 12 = 13;

t₁ = 1+3 4 ∉ [–1; 1]; t₂ = 1-3 4.

Маємо: cosx = 1-3 4;

x = ± arccos1-3 4 + 2πk, k ∈ Z.

Відповідь: x = π2 + 2πn, n ∈ Z; x = ± arccos1-3 4 + 2πk, k ∈ Z.