§ 31: 31.23 (1)

31.23 Розв’яжіть рівняння:

1) -cos2x = –2cosx; 1-2cos2x = –2cosx.

Нехай cosx = t, |t| ≤ 1. Тоді

1-2t2 = –2t ⇔ 1 – 2t² = (2t)²; 1 – 2t² = 2t²; 4t² = 1;

–2t ≥ 0; t ≥ 0; t ≥ 0;

t² = 14; t = ±12;

t ≥ 0; t ≥ 0; ⇒ t = 12.

Маємо: cosx = 12; x = ± arccos12 + 2πn, n ∈ Z; x = ±π3 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = ±π3 + 2πn, n ∈ Z.

2) 2-3cos2x = sinx; 2-3(1-2sin2x) = sinx; 2-3+6sin2x = sinx; 6sin2x-2 = sinx.

Нехай sin x = t, |t| ≤ 1.

Тоді: 6t2-2 = t ⇔ 6t² – 1 = t; 6t² – t – 1 = t;

6t² – 1 ≥ t; (6t – 1)( 6t + 1) ≥ 0;

6(t – 12)(t + 13) = 0; t = 12, t = 13;

t ∈ (–∞; –16] ∪ [16; +∞); t ∈ (–∞; –16] ∪ [16; +∞); ⇒ t = 12.

Маємо: sinx = 12;

x = (–1)^k • arcsin12 + πk, k ∈ Z; x = (–1)^k • π6 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: x = (–1)^k • π6 + πk, k ∈ Z.