§ 31: 31.18 (1)

31.18 Розв’яжіть рівняння:

1) tg³x – tg²x + ctg²x + ctg³x = 4;

tg³х + ctg³х + tg²х + ctg²х = 4;

(tgх + ctgx) • (tg²x – tgx • ctgx + ctg²x) + tg²x + ctg²x = 4;

(tgx + ctg x) • (tg²x + ctg²x – 1) + tg²x + ctg²x = 4.

Нехай tgx + ctgx = у, тоді (tgx + ctgx)² = y²;

tg²x + 2 + ctg²x = y²;

tg²x + 2 + ctg²x = y² – 2 ⇒ y(y² – 2 – 1) + y² – 2 = 4;

y³ + y² – 3y – 6 = 0; y = 2 – корiнь рівняння ⇒

_y³ + y² – 3y – 6 y – 2

y³ – 2y² y³ + 3y + 3

_3y² – 3y

⇒ 3y² – 6y

_3y – 6

3y – 6

0

Тоді y³ + y² – 3y – 6 = (y – 2)(y² + 3y + 3).

Тричлен y² + 3y + 3 – не має коренів ⇒ у = 2. Маємо tgx + ctgx = 2; tgx + 1ctg x = 2; tg²x – 2tgx + 1 = 0;

(tgx – 1)² = 0; tgx = 1; x = arctg1 + πn,

n ∈ Z; x = π4 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = π4 + πn, n ∈ Z.

2) 4sn²x + 1sin2x + 4 sinx + 2sinx = 11;

4sin²x + 1sin2x + 2(2sinx + 1sinx) = 11.

Нехай 2sinx 1sinx = y, тоді (2sinx + 1sinx)² = y²;

4sin²x + 4 + 1sin2x = y².

4sin2x + 1sin2x = y² – 4 ⇒ y² – 4 + 2y – 11 = 0;

y² + 2y – 15 = 0 ⇒ y = –5; y = 3.

Маємо: 2sinx + 1sinx = –5; 2sin²x + 5sinx + 1 = 0;

2sinx + 1sinx = 3; 2sin²x – 3sinx + 1 = 0.

Розв’яжемо перше рівняння: sinx = t, |t| ≤ 1 ⇒ 2t² + 5t + 1 = 0;

D = 25 – 8 = 17; t₁ = -5+ 174; t₂ = -5- 174 ∉ [–1; 1] ⇒

sinx = 17- 54; x = (–1)^k • arcsin 17- 54 + πk, k ∈ Z.

Розв’яжемо друге рівняння: sinx = t, |t| ≤ 1 ⇒ 2t² – 3t + 1 = 0;

D = 9 – 8 = 1; t₁ = 3+14 = 1; t₂ = 3-14 = 12.

Маємо: sin x = 1; x = π2 + 2πk, k ∈ Z.

sin x = 12; x = (–1)^l • arcsin12 + πl, l ∈ Z;

x = π2 + 2πk, k ∈ Z.

x = (–1)^l • π6 + πl, l ∈ Z;

Відповідь: x = π2 + 2πk, k ∈ Z; x = (–1)^l • π6 + πl, l ∈ Z;

2) sin6x + 2 = 2cos4x; 3sin2x – 4 sin³ • 2x + 2 = 2(1 – 2sin²2x);

3sin2x – 4sin³ • 2x – 2 + 4sin²2x = 0;

–4sin³2x + 4sin² • 2x + 3sin2x = 0;

sin2x(–4sin³2x + 4 • sin2x + 3) = 0;

1) sin2x = 0; 2х = πn, n є Z; x = πn2, n ∈ Z.

2) –4sin²2x + 4sin2x + 3 = 0. Нехай sin2x = t, |t| ≤ 1.

Тоді: –4t² + 4t + 3 = 0; D₁ = 4 + 12 = 16; t₁ = -2+4-4 = –12; t₂ = -2-4-4 ∉ [–1; 1].

Маємо sin2x = –12; 2x = (–1)^k • arcsin(–12) + πk, k є Z; 2x = (–1)^k+1 • π6 + πk, k є Z; x(–1)^k–1 • π12 + π12, k ∈ Z.

Відповідь: х = π2 + 2πk, n є Z; x(–1)^k–1 • π12 + π12, k ∈ Z.