§ 31: 31.17 (1)

31.17 Розв’яжіть рівняння:

1) tg⁴ x + ctg⁴ x + tg² x + сtg² x = 4.

Нехай tg² x + ctg² x = у; у ≥ 0 ⇒ (tg²х + сtg²х)² = у²;

tg⁴х + 2 + ctg⁴ = у2; tg²х + сtg⁴х = у² – 2.

Тоді маємо: у³ – 2 + у = 4; у² + у – 6 = 0; у = –3 ∉ [0; +∞); у = 2.

Маємо: tg²х + сtg² = 2; tg²x + 1tg2x = 2; tg4x – 2tg²x + 1 = 0;

(tg²x – 1)² = 0; tg²x – 1 =0; tg²х= 1; tgx = ±1; x = arctg(±1) + πn, n ∈ Z; x = ± π4 + πn, n ∈ Z;

Відповідь: x = ± π4 + πn, n ∈ Z;

2) 16cos²x + 5(3cosx + cos^–1x) + 2cos^–2x + 4 = 0;

18cos²x + 2cos2x + 5(3cosx + 1cosx) + 5 = 0.

Нехай 3cosx + 1cosx = y, тоді (3сosx + 1cosx)² = y²;

3cos²x + 6 + 1cos2x = y²; 3cos²x + 6 + 1cos2x = y²;

9cos²x + 1cos2x = y² – 6 ⇒ 2(y² – 6) + 5y + 5 = 0;

2y² + 5y – 7 = 0;

D = 25 + 56 = 81; y₁ = -5+94 = 1; y₁ = -5-94 = –72.

Маємо: 3 cosx + 1cosx = 1; 3cos²x – cosx + 1 = 0;

3 cosx + 1cosx = –72; 6 cos²x + 7cosx + 2 = 0.

Розв’яжемо перше рівняння: нехай cos x = t, |t| ≤ 1; 3t² – t + 1 = 0; D = 1 – 12 < 0 ⇒ t ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅.

Розв’яжемо друге рівняння: нехай cos x = t, |t| ≤ 1,

6t² + 7t + 2 = 0; D = 49 – 48 = 1;

t₁ = -7+112 = –12; t₂ = -7-112 = –812 = –23.

Маємо: сosx = –12; x = ± arccos(–12) + 2πn, n ∈ Z;

cosx = –23; x = ± arccos(–23) + 2πk, k ∈ Z;

x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z;

x = ±(π – arccos23) + πk, k ∈ Z.

Відповідь: х = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z;